当Lim N→∞（1+1⼀N）^N的极限等于多少?(要过程的）

e。

(1 + 1/1)¹ = 2

(1 + 1/2)² = 2.25

(1 + 1/3)³ = 2.3703703......

(1 + 1/4)⁴= 2.4414062......

(1 + 1/10)¹°= 2.59374246......

(1 + 1/20)²°= 2.65329770......

(1 + 1/30)³°= 2.67431877......

(1 + 1/100)¹°°= 2.70481382......

(1 + 1/1000)¹°°°= 2.716923932......

(1 + 1/10000)¹°°°°= 2.718145927......

(1 + 1/100000)¹°°°°°= 2.718268237......

(1 + 1/1000000)¹°°°°°°= 2.718280469......

(1 + 1/10000000)¹°°°°°°°= 2.718281693......

(1 + 1/100000000)¹°°°°°°°°= 2.718281815......

(1 + 1/1000000000)¹°°°°°°°°°= 2.718281827......

(1 + 1/10000000000)¹°°°°°°°°°°= 2.718281827......

(1 + 1/100000000000)¹°°°°°°°°°°°= 2.718281827......

(1 + 1/1000000000000)¹°°°°°°°°°°°°= 2.718281827......

...................................................................................................................

这个收敛的，有界的无理数，我们命名为 e， 它的极限定义式是：

lim (1 + 1/n)^n = e

N→∞

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

lim
(1+1/n)^n*lim
(1+1/n)
=e*1
=e
简单的方法是直接证它在r+上单调减，这个可以求导来做，最后归结为证
x
log（1
+
1/x)
>
1
这个题也可以利用伯努利不等式（此式也可用数学归纳法证明）：
(1
+
α)^n
≥
1
+
nα
这样直接求商算一算：
f(n)
/
f(n
+
1)
=
...
=
(1
+
1
/
(n^2
+
2n))^(n
+
1)
*
(n
+
1)
/
(n
+
2)
≥
(1
+
(n
+
1)
/
(n^2
+
2n))
*
(n
+
1)
/
(n
+
2)
=
...
=
1
+
1
/
(n^3
+
4n^2
+
4n)
>
1
所以f(n)单调减。

(1
+
1/1)¹
=
2
(1
+
1/2)²
=
2.25
(1
+
1/3)³
=
2.3703703......
(1
+
1/4)⁴=
2.4414062......
(1
+
1/10)¹°=
2.59374246......
(1
+
1/20)²°=
2.65329770......
(1
+
1/30)³°=
2.67431877......
(1
+
1/100)¹°°=
2.70481382......
(1
+
1/1000)¹°°°=
2.716923932......
(1
+
1/10000)¹°°°°=
2.718145927......
(1
+
1/100000)¹°°°°°=
2.718268237......
(1
+
1/1000000)¹°°°°°°=
2.718280469......
(1
+
1/10000000)¹°°°°°°°=
2.718281693......
(1
+
1/100000000)¹°°°°°°°°=
2.718281815......
(1
+
1/1000000000)¹°°°°°°°°°=
2.718281827......
(1
+
1/10000000000)¹°°°°°°°°°°=
2.718281827......
(1
+
1/100000000000)¹°°°°°°°°°°°=
2.718281827......
(1
+
1/1000000000000)¹°°°°°°°°°°°°=
2.718281827......
...................................................................................................................
这个收敛的，有界的无理数，我们命名为
e，
它的极限定义式是：
lim
(1
+
1/n)^n
=
e
N→∞