哥德巴赫猜想是怎么回事

2025-02-27 06:34:40

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回答1：

世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6＝3+3，12＝5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从费马提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠"。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了"哥德巴赫"。目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理(Chen’s Theorem) ? "任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。" 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 "1 + 2 "的形式。在陈景润之前，关於偶数可表示为 s个质数的乘积与t个质数的乘积之和(简称"s + t "问题)之进展情况如下: 1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 "9 + 9 "。 1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了"7 + 7 "。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 "6 + 6 "。 1937年，意大利的蕾西(Ricei)先后证明了"5 + 7 ", "4 + 9 ", "3 + 15 "和"2 + 366 "。 1938年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了"5 + 5 "。 1940年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了 "4 + 4 "。 1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了"1 + c "，其中c是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了 "3 + 4 "。 1957年，中国的王元先后证明了 "3 + 3 "和 "2 + 3 "。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 "1 + 5 "，中国的王元证明了"1 + 4 "。 1965年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及意大利的朋比利(Bombieri)证明了"1 + 3 "。 1966年，中国的陈景润证明了 "1 + 2 "。最终会由谁攻克 "1 + 1 "这个难题呢？现在还没法预测。追问：陈景润的解法是？请详细一点回答：命px(1,2)为适合下列条件的素数 p的个数： x-p=p1或x-p=p2p3 其中p1,p2,p3都是素数。〔这是不好懂的；读不懂时，可以跳过这几行。〕用x表一充分大的偶数。 p-1 1 命cx=ii --- ii 1- ----- p\x p-2 p<2 (p-1)2 p>2 对于任意给定的偶数h及充分大的x，用xh(1,2)表示满足下面条件的素数p的个数： p≤x,p+h＝p1或h+p＝p2p3，其中p1,p2,p3都是素数。

回答2：

1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道： "我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和： 77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461， 461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于7的奇数都是三个素数之和。但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。" 欧拉回信说：“这个命题看来是正确的".但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于6的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式： 2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4. 若欧拉的命题成立，则偶数2(N-1)可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。追问：素数是什么回答：素数就是质数。目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。“充分大”陈景润教授指大约是10的50000 0次方，即在1的后面加上500000个“0”，是一个目前无法检验的数。所以，保罗赫夫曼在《阿基米德的报复》一书中的35页写道：充分大和殆素数是个含糊不清的概念。中国数学家陈景润于1966年证明：任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者可表示为两个质数的乘积。”通常这个结果表示为 1+2。这是目前这个问题的最佳结果。 1933年，陈景润出生在福建，自幼家庭拮据。在福州英华书院念高中时，受数学老师沈元影响，陈景润迷上数论中一道著名难题“ 哥德巴赫猜想 ”，并立志要去摘取这颗数学皇冠上的明珠。在厦门大学读书期间，陈景润发表了第一篇论文。1957年10月，他调入中国科学院数学研究所工作，先后发表学术论文50余篇，在解析数论的许多重要问题研究上取得重要成果。为攻克“哥德巴赫猜想”（简称“1+1”），陈景润全身心投入其中，废寝忘食，达到忘我的境界：不管上班、下班、走路、吃饭，在厕所改建的3平米宿舍，还是在6平米的锅炉房，他都在不停地思索和演算，对世界上最复杂的问题进行着艰苦验证。 1966年5月，陈景润在《科学通报》上宣布他证明了“1+2”：任何一个充分大的偶数都可以表示成为两个数之和，其中一个是素数，另一个为不超过两个素数的乘积——这距离摘取数学皇冠上的明珠“1+1”只有一步之遥。 1973年陈景润在《中国科学》上发表了“1+2”的详细证明并改进了1966年宣布的数值结果，立即在国际数学界引起了轰动。他的研究成果被公认为是对哥德巴赫猜想研究的重大贡献，是筛法理论的光辉顶点，被国际数学界称为“陈氏定理”。其后，陈景润对上述定理又作了改进，并于1979年初完成论文《算术级数中的最小素数》。他的研究成果至今在哥德巴赫猜想的研究领域还保持着领先地位。

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1+1：哥德巴赫猜想

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