高等数学【函数极限】如何用定义证明limcosx→a=cosa 急求,求详细步骤!

2025-03-16 15:42:38
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回答1:

具体回答如下:

证明:limcosx→a=cosa

令|cosx-cosa|<ε

|-2sin【(x+a)/2】sin【(x-a)/2】|<ε

|sin【(x+a)/2】sin【(x-a)/2】|<|sin【(x-a)/2】|<ε/2

令u=min(ε/2,1),取δ=2arcsinu。

则当|x-a|<δ时,有|cosx-cosa|<ε

因此:yinlimcosx(x→a时)=cosa

函数的性质:

设函数f(x)的定义域为D,区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2,当x1

如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

回答2:

任给ε>0,要使│cosx-cosa│<ε
即 │-2sin[(x+a)/2]sin[(x-a)/2]│<ε
│sin[(x+a)/2]sin[(x-a)/2]│<│sin[(x-a)/2]│<ε/2
令u=min(ε/2,1),取δ=2arcsinu
则当│x-a│<δ时,有│cosx-cosa│<ε
∴limcosx(x→a时)=cosa