85问答库 > 高等数学【函数极限】如何用定义证明limcosx→a=cosa 急求，求详细步骤！

高等数学【函数极限】如何用定义证明limcosx→a=cosa 急求，求详细步骤！

2025-03-16 15:42:38

推荐回答（2个）

回答1：

具体回答如下：

证明：limcosx→a=cosa

令|cosx-cosa|<ε

|-2sin【(x+a)/2】sin【(x-a)/2】|<ε

|sin【(x+a)/2】sin【(x-a)/2】|<|sin【(x-a)/2】|<ε/2

令u=min（ε/2，1），取δ=2arcsinu。

则当|x-a|<δ时，有|cosx-cosa|<ε

因此：yinlimcosx（x→a时）=cosa

函数的性质：

设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1

如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

回答2：

任给ε>0,要使│cosx-cosa│<ε
即 │-2sin[(x+a)/2]sin[(x-a)/2]│<ε
│sin[(x+a)/2]sin[(x-a)/2]│<│sin[(x-a)/2]│<ε/2
令u=min（ε/2，1），取δ=2arcsinu
则当│x-a│<δ时，有│cosx-cosa│<ε
∴limcosx（x→a时）=cosa