已知{a n }是首项为a 1 ，公比q为正数的等比数列，其前n项和为S n ，且有5S 2 =4S 4 ，设b n =q+q n +S n

由题意知 （1）∵q≠1， ∴S 2 = a 1 (1- q 2 ) 1-q ，S 4 = a 1 (1- q 4 ) 1-q ， ∴5（1-q 2 ）=4（1-q 4 ）． ∵q＞0， ∴q= 1 2 ． （2）∵S n = a 1 (1- q n ) 1-q =2a 1 -2a 1 （ 1 2 ） n ， ∴b n =q+q n +S n =2a 1 + 1 2 +（1-2a 1 ）（ 1 2 ） n ． 若{b n }是等比数列，则b 1 =a 1 +1，b 2 = 3 2 a 1 + 3 4 ，b 3 = 7 4 a 1 + 5 8 ， 由b 2 2 =b 1 b 2 ，解得8a 1 2 -2a 1 -1=0，所以a 1 =- 1 4 ，或a 1 = 1 2 ． ①当a 1 = 1 2 时，b n = 3 2 ， ∴数列{b n }是等比数列． ②当a 1 =- 1 4 时，b n = 3 2  （ 1 2 ） n ． ∵ b n+ b n = 3 2 ( 1 2 ) n+1 3 2 ( 1 2 ) n = 1 2 ， ∴数列{b n }是等比数列．