这个内角和小于180度是罗氏几何的公理之一。
罗氏几何（非欧几何的一种）和欧氏几何相对应，在欧式几何中，有五条基本公里，比如两点间以直线为最短，等等。因为这个几何体系符合我们日常生活中的平面情形，所以也就叫平面几何。但第五条公理三角形内角和=180度或者说过直线外一点只能做一条直线与已知直线平行，看上去可以用其他四条公理证明出来。历史上也确实有不少数学家曾经致力于证明这个结论，但都没有成功。后来有个叫鲍耶的好像是匈牙利人，就是假设了三角形内角和小于180度，并且由此搞了一个体系，但当时的数学家们比较保守，觉得你这和大师的说法相差这么多，我们不接受。鲍耶同学郁闷了，似乎他的工作也没有得到认可就英年早逝了。
当时的媒体和信息传播速度不像今天，鲍耶的工作很少有人知道。到了后来，应该是18世纪，罗巴切夫斯基又独立的在平面几何的四条公理+罗氏第五公理基础上建立了这个非欧几何。如果印象不错，这非欧几何也叫鲍耶-罗巴切夫斯基几何。
这个体系在后来的航海和大地测绘中都有应用。
而且，三角形内角和大于180度也可以建立一套体系。但不知道有何种应用。
这个需要啥原创？公理还要证明么？我只是告诉了一个事实，数学家们说第五公理不能用前四个公理证明，它是独立的。
1、欧氏几何是把认识停留在平面上了，所研究的范围是绝对的平的问题，认为人生活在一个绝对平的世界里。因此在平面里画出的三角形三条边都是直的。两点之间的距离也是直的。2、空间是一个双曲面，（不是双曲线），这个双曲面，把它想象成一口平滑的锅或太阳罩，这个双曲面里画三角形，三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线，那么这样的三角形就是罗氏三角形，经过论证发现，任何罗氏三角形的内角和都永远小于180度，无论怎么画都不能超出180度，但是当把这个双曲面渐渐展开时，一直舒展成绝对平的面，这时罗氏三角形就变成了欧氏三角形，也就是我们在初中学的平面几何，其内角和自然是180度。
3、小于【凹面】或者大于【凸面】180度，取决于曲面的局部曲率。
因为外角等于另两个内角和。外角加边上的内角是180度。
这个可以用公理推到
公设
1
从任意的一个点到另外一个点作一条直线是可能的。
公设
2
把有限的直线不断循直线延长是可能的。
公设
3
以任一点为圆心和任一距离为半径作一圆是可能的。
公设
4
所有的直角都相等。
公设
5
如果一直线与两线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线
无限延长后必相交
于该侧的一点
以上是欧式几何，那么罗氏几何只是有一点不同，容易由之推到上述结论
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