此题为柯西积分（单极点的情况）以及留数定理（多极点的情况）的利用，不是很难。建议多看一下钟玉泉版本的复变函数论第三、四章内容讲述的十分详细，其中留数定理在第六章。
回答如下：
分享一种解法。设f(z)=(e^z)/[z²(z-iπ)]。∴在丨z丨=5的域内，f(z)有1个一阶极点z1=πi和1个二阶极点z2=0。
∴由柯西积分定理，原式=(2πi){Res[f(z),z1]+Res[f(z),z2]}。
而，Res[f(z),z1]=lim(z→πi)(z-πi)f(z)=lim(z→πi)(z-πi)(e^z)/z²=-1/(iπ)²。同理，Res[f(z),z2]=lim(z→0)[z²f(z)]'=lim(z→0)[(e^z)/(z-πi)]'=…=(-πi-1)/(iπ)²。
∴原式=(2πi)(-πi-2)/(iπ)²=2(2i-π)/π。
供参考。
求复变函数的积分
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