85问答库 > 高中教材用开普勒定律证明了万有引力与环绕天体质量成正比，但如何证明万有引力与中心天体质量成正比？

高中教材用开普勒定律证明了万有引力与环绕天体质量成正比，但如何证明万有引力与中心天体质量成正比？

2025-02-22 20:11:58

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回答1：

不如说运动是相互的，A绕B椭圆运动，其实也就是B绕A椭圆运动。转换一次环绕天体和中心天体的位置，就得到结论了。

平方反比律的确定 1.从理论计算得出平方反比的假设：为了简便起见，可把行星运动轨道看作圆形（把行星轨道看作圆形时，课本上已有相关证明），这样，根据面积定律，行星应作匀速圆周运动，只有向心加速度a=v2/r，其中，v是行星运行速度，r是圆形轨道的半径。根据牛顿第二定律： f=ma 有又由由开普勒第三定律，K是与行星无关的太阳常量即于是 ……① 牛顿得到第一个结果：如果太阳的引力是行星运动的原因，则这种力应和行星到太阳的距离的平方成反比。 2.平方反比假设的验证：牛顿“苹果落地”的故事广为流传。故事大意是说，1665-1666年感染病流行，牛顿从剑桥大学退职在家，一天，他在花园里想重力的动力学问题，偶然看到苹果落地，引起他的思考。在我们能够攀登的最远距离上和最高山颠上，都未发现重力有明显的减弱，这个力必然到达比通常想象的远得多的地方。那也应该高到月球上。如果是这样，月球的运动必定受它的影响，或许月球就是由于这个原因，才保持在它的轨道上的。设想月球处在它的轨道上的任意点A（见图），O是地心，如果不受外力，它将沿一直线AB运动，然而实际它的轨道是弧线AP，AB与轨道在A点相切。则月球向O落下了距离BP=y , 令弧长AP=s=2πrt/T , 而 cosθ≈1- /2, θ=s/r 则 y=r (1-cosθ)≈s2/2r =4π2r2t2/2rT2=2π2rt2/T2, 在地面上t时间内一个重物下落距离为 y=gt2/2 由此得 y/y’ =4π2r/gT2 月球绕地的周期T=27.3d ≈2.36×106 s，地面上的重力加速度g=9.8 m/s2，地球半径R的准确数值是6400km，古希腊的天文学家伊巴谷通过观测月全食持续的时间，曾相当精确的估算出地月距离r为地球半径的60倍，则r=60 R=3.84×105km用这个数值代入，即得y/y’ =1/3600 而 R2/r2=1/3600 y/y’=a/g=ma/mg=f/mg= R2/r2 所以： f=mg R2/r2 即：力和距离的平方成反比二.与m和M成正比的确定 ①式表明力与被吸引物体质量m成正比，同时根据牛顿第三定律，力的作用是相互的，f是M对m的作用，f’是m对M的作用，f与m成正比，则同理f’必与M成正比，又f =f’，则f必同时与m和M成正比。①式可写成： f=GMm/r2, ……② 其中G是万有引力常量。三.万有引力常量的G测定既然有了万有引力的表达式，那就要测出万有引力常量。测量万有引力常量G的数值，就要测量两个已知质量的物体间的引力。1798年，卡文迪许（H.Cavendish）做了第一个精确的测量。他所用的是扭秤装置，如图所示，两个质量均为m的小球固定在一根轻杆的两端，在用一根石英细丝将这两杆水平的悬挂起来，每个质量为m的小球附近各放置一个质量为M的大球。根据万有引力定律，当大球在位置AA时，由于小球受到吸引力，悬杆因受到一个力矩而转动，使悬丝扭转。引力力矩最后被悬丝的弹性恢复力矩所平衡。悬丝扭转的角度θ可用镜尺系统来测定。为了提高测量的灵敏度，还可以将大球放在位置BB，向相反的方向吸引小球。这样，两次悬杆平衡之间的夹角纠正大了一倍。如果已知大球和小球的质量M,m和他们相隔的距离，以及悬丝扭力的相关系数，就可由测得的θ来计算G。卡文迪许测定的万有引力常量值为： G=6.754×10-11m3/kg•s2。万有引力常量是目前测得最不精确的一个基本物理常量，因为引力太弱，又不能屏蔽它的干扰，实验很难做。从卡文迪许到现在已近200年，许多人用相同或不同的方法测量G的数值，不断地改进其精度。国际科学联盟理事会科技数据委员会(CODATA)1986年推荐的数值为 G=6.67259(85)×10-11 m3/kg•s2，不确定度为128/1000000（即万分之1.28）。万有引力实验演示一，实验现象：一些科技博物馆里又如图的演示装置：一个类似碗状，但是碗壁向内拱入的圆盘。一个粘有油墨的小球以较低速度从圆盘边缘进入，在圆盘上绕中心滚动并留下痕迹。可以观察到，随着时间变化，小球的速度越来越快，到最后掉入中间的小洞。而且越到中间小球的半径变化越缓慢（也就是说小球的轨迹在中间是最密集）。小球的轨迹并不是正圆的，而是一种半径越来越小的圆弧。（如果两个小球先后进入盘中则会有角位移前后追赶的现象。）二，原理解释： 1,为什么用它来演示万有引力定律由万有引力定律的表达式可以推知，行星势能为而实验中用重力势能来代替万有引力势能mgh= -GMm/r 所以只要满足h=-GM/gr则可以用重力势能来代替万有引力势能。同时r表示物体间的距离。当图示曲线绕h轴旋转后便会形成实验中所用到的曲面，当曲线如图时：dh/dr=GM/gr2, f=mgtanθ=mgdh/dr=mgGM/gr2=GMm/r2 所以不论从能量还是从力的角度来讲，这个实验模型可以模拟演示万有引力。 2,为什么小球会越来越快由离心力f=mv2/r=F知，动能为E k=1/2mV2=1/2GMm/r，由公式可见，r越小动能越大，自然速度会越快。 3,为什么小球到中间轨迹密集这是一个有耗散力做工的系统，在旋转的时候摩擦力做功发热耗散掉一部分能量w= ,而f的大小只与接触的压力和摩擦系数有关系，在距离为r处的摩擦力转一周做功为：w= =2πrmgµcos[arctan(dh/dr)]= 又：dE/dr= GMm/r2，可见在r越大的时候，势能的变化越慢，故在外圈时，变化一个小量dr后势能的变化不如内圈的大，而转一圈消耗能量却比内圈大。所以在里圈旋转时，转动位置每下降一小段，可供小球旋转的能量就较多，而小球每转一圈摩擦力消耗能量较少，故小球在同样的一小段距离上会比外边多转几圈。 4,小球的轨迹为何是一个不断向里缩进的圆弧如果盘面足够光滑，即没有摩擦力做功，则小球的轨迹会是什么样的呢？ A,小球在进入圆盘边缘时恰好获得的动能足够在盘的边缘运动所需的动能： mgh=1/2 mv2 即：F=mv2/r则小球会沿着圆盘边缘做正圆轨迹的运动 B,小球在进入圆盘边缘时未达到在圆盘的边缘运动所需的动能： Mgh〉1/2mv2，F>mv2/r则小球会做正圆轨迹的运动同时径向有一个分运动（缩小半径把势能转化为动能直到满足平衡为止）到某一半径时会达到F=mv2/r在此处做正圆运动 C,小球在进入圆盘边缘时的动能超过在盘的边缘运动所需的动能： Mgh<1/2mv2,F
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