1的3次方+2的3次方.....一直到n的3次方怎么求和？ 请详细点 谢谢大神解答！

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 

证明过程如下：（这里的证明过程用到了迭代法）

上式中各式相加，红色部分和红色部分抵消为0，绿色和绿色部分抵消为0，以此类推。

扩展资料：

立方和公式：

立方差公式：

三项立方和公式：

参考资料：百度百科——立方和公式

刚好看再找这个问题的答案，但是看到几个答案的证明有一步都没看懂。借楼求教，如下图

我怎么感觉这不符合基本运算法则呢

所以应该是下面这样的吧

这才是符合基本运算的不是么

先推导1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 
由n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
得
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
整理
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
所以1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
再推导1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 
由(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
得
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
整理后
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2 
进而1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
证明：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

要求1的3次方到n的3次方的和，可以使用求和公式来计算。具体步骤如下：

首先，我们可以根据求和公式计算出1到n的和。根据等差数列求和公式，1到n的和为 S1 = n * (n + 1) / 2。

然后，我们可以计算出1的3次方到n的3次方的和。将每一项展开，可以得到如下表达式：
1的3次方 + 2的3次方 + 3的3次方 + ... + n的3次方 = (1的3次方) + (2的3次方) + (3的3次方) + ... + (n的3次方)

我们可以利用求和公式来计算出每个项的和。根据求和公式，每个项的和为 Sn = n * (n + 1) / 2，其中 n 为项数。

所以，1的3次方到n的3次方的和 S2 = (1的3次方) + (2的3次方) + (3的3次方) + ... + (n的3次方) = 1 * 2 / 2 + 2 * 3 / 2 + 3 * 4 / 2 + ... + n * (n + 1) / 2。

将每个项的和带入到总和的表达式中，可以得到1的3次方到n的3次方的总和为：
S = S2 - S1 = (1 * 2 / 2 + 2 * 3 / 2 + 3 * 4 / 2 + ... + n * (n + 1) / 2) - n * (n + 1) / 2。

将公式进行整理和简化，可以得到最终结果：
S = n * (n + 1) * (n - 1) * (3n + 2) / 12。

所以，1的3次方到n的3次方的和为 n * (n + 1) * (n - 1) * (3n + 2) / 12。