定积分的积分区间不一定要求有界，可以定义无穷区间上，这要用到极限概念。比如1/x在[1,+∞)的积分就为0-(-1/1^1)=1。
对于后面的疑惑，给你提醒一点吧：说通俗点，无穷多个无穷小加起来是可能等于无穷大的...
举个例子：n^2个1/n相加等于n，当n趋于无穷大时，每个1/n是趋于无穷小的，但这n^2个无穷小加起来就趋于无穷大了.......
数学微积分的基础还是在于极限，开始接触的时候可能还不太好理解，太抽象，但正是因为它的抽象，你最终才会体会到其中的乐趣......
定积分要求积分区间有界，不满足有界的积分是反常积分。定积分的子区间必然趋向于零，反常积分的子区间会趋向于无穷大（正无穷或负无穷）详见《高等数学》（同济大学数学系 编）第五章 第一节、第四节
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