f(x)单调递增，隐含两个条件:
1.导数大于0；
2.x＞1时的函数值大于x≤1时的函数值。
过程如图所示:
设x₂>x₁>1
f(x₂)-f(x₁)=x₂+ a/x₂+1-(x₁+ a/x₁ +1)
=(x₂-x₁)(x₁x₂ -a)/(x₁x₂)
x₂-x₁>0，x₁x₂>1>0，要x>1时，f(x)单调递增，x₁x₂ -a>0
a≤1
要f(x)在R上单调递增，1 +a/1 +1≥-1²+2·1
a≥-1
综上， 得-1≤a≤1，a的取值范围为[-1，1]
选C
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