认真看看 可以对你有帮助 不要执迷于固定的模型解题法
实际应用题：找相等关系，设，列，解，讨论，答
几何找出已知和未知，从已知中找到更多已知，从未知中思索
初中数学解题教学中反思模式的探索与实践。 下面是数学老师黎红的经验之谈，你认真看看
(四川省泸县第二中学 黎红)
为什么很多学生能够很好地完成课本习题，却不能在考试中取得好的成绩？是否必须解大量的课本外的题才能真正提高解题能力？“熟能生巧”这条古训，它究竟是不是一条普遍的数学学习规律？学生的数学思维能力真的全是我们这些教师教出来的吗？……这一系列的问题,在最近六七年中一直困绕着我。通过两年心理学研究生课程的进修，并带着问题去阅读相关问题的理论专著及报刊杂志，使我朦胧的感到我的教学理论水平还很差，前面十二、三年的教学过程中，总是在自我感觉良好的状态中“混”过去了，有实践却很少总结经验，更缺少理论学习。通过近些年的思考和学习，我开始改革自己的教学方法，在教学中，开始重视互动的师生关系，并在理论指导下培养学生主体性方面作出较长时间的实践，在主体性培养的教学实践中，发现学生解题自觉了，而且还有很多学生能主动涉及一些课外习题，不懂的问题也能主动问老师和同学，按理这些学生考试成绩应该很理想才对，但在他们中间偏偏有较大部份还是不能考出满意的成绩，学习数学离不开解题。学生已能正确地完成课本习题，思维能力却不见提高。由此我假设：“解题与思维能力提高之间一定存在一个重要的环节，那就是解题后的反思环节，它是减轻学生课业负担的同时提高学生数学思维能力的必由之路。”根据这个假设我作了近两年的实践研究，摸索出了一些规律，总结了一点经验，借此文与同行交流几个案例，谈谈自己的体会，恳请指教。
一、教师在解题教学过程中要善于将自己内隐思维活动的调节，控制过程展示出来，问题解决后不要停止，应立即引导学生进行解题后的反思，并把反思中的得失板书出来，使学生能够效仿。
案例1，在完成解直角三角形“应用举例”的5个例题后，启发学生对5个题目的解题过程进行类比性反思，出示反思题目：请同学们再看看例题的解题过程，特别要注意在这些过程中相同方法的归纳概括，通过类比反思你能发现什么？在教师的引导下，同学们发现这几个题表面虽有许多不同之处，但却有如下几点相同：⑴ 它们都有一个实际问题作背景；⑵ 都用到了方程的知识；⑶ 都用到了锐角三角函数的定义；⑷ 都用到了几何知识。在此基础上老师说：我通过解这几个题的过程的反思与同学们相似，我的反思结论是它们都运用了同一个解题思维策略或同一个解题模式，就是实际问题几何化，几何问题方程化，而列方程的根据正好是刚学过的锐角三角函数的定义，这样就把几个例题的思考过程和解题过程统一成了下列模式（板书，并解释每个箭头的意义）
通过对5个例题解题后的反思，学生对解决这类问题的思路更加清晰了，并对反思的对象和方法有了一些体会。
二、教师要用数学启发法讲解概念的概括，解题思路的发现和结论的猜想，并树立自觉的猜想意识，努力培养学生猜想的主动意识，鼓励学生从解题后的反思出发，大胆猜想，发现问题，提出问题。
问题是思维的核心，从提出问题过程中培养思维能力，没经过深入的思考是提不出好问题的。“中学数学教学中的数学猜想大部分属于探索性思维过程”，这就要求教师在平时的教学中要有理论高度，应熟悉大部分基本的数学思维方式，如马忠村主编的《数学思维理论》一书中列举的16种思维方式以及重要的数学思维模式、策略与方法，当然还要结合数学教育心理学等其他教育理论贯穿于数学教学过程，用数学启发法去讲解解题思路的发现和结论的猜想，在侧题教学中，要经常从解题后的反思出发，启发学生进行猜想，并及时表扬同学们敢干猜想的精神。学生在这种猜想精神得到鼓励和保护的学习氛围中，便出现了大量作业后结合所解的题进行的好的猜想和证明。如
案例2：胡玲同学在解完“梯形ABCD中，点E是腰AB上一点，在腰CD上求作一点F，使CF:FD = BE:EA”之后在作业的反思栏内写道：“老师，如果E点在底边上，如何在另一底上找到F，我有一种
方法，不知对否？
作法，1. 连结AC；
2. 作EO // DC交AC于O；
3. 作OF // AB交BC于F。
AE:ED = BF:FC。 ”
同时，另一位学生在作业本中提出同样的问题，写道：“如果，在梯形ABCD中，点E是底边上一点，那么在另一底边找一点F，使AE:ED = BF:FC，应怎样找？”
两位学生对同一个题目，提出了相同的问题，前者解决了问题，但不能用准确的数学语言表述问题，后者虽没有找到解决问题的方法，但能准确的描述问题，两位学生都良好的运用了直觉思维，这本身就是一种创新能力，我及时公布了两位的猜想，并鼓励他们的这种主动猜想的创新精神，公布之后，同学们反映强烈，并进行了广泛的讨论，并且在讨论中思维更加深刻，问题得到引伸，方法也出现了多种。
第二次作业本交上来了，一位学生对在讨论中提出的新方法给出了证明，他写道：“今天江乔说，如下图，已知梯形ABCD，E是底边的一点，延长腰交于F，连结EA交AB与G就是昨天胡玲要找的点。我觉得它说的是对的；证明如下：……（证明略）”
我也即时公布了这位学生提供的江乔的发现和他的证明，
并说，江乔能想到这种方法，正如他在反思中所说，是他对
解过的P244第22题的反思在这里起了作用，因为当时作了深
刻的反思，从而对做过的题目有深刻的映象，自然很容易想到这种方法，因此，同学们应向他学习，解题以后不要停止，一定要多作反思。
接下来的几天中，都有同学围绕着这个问题继续思考，并且有的同学还将此问题作了进一步引伸，如胡静在反思中写道：“任意多边形，知道一边上一点，就可以由胡玲那种方法，在其它任一边上找到一点，使与分得的线段的比等于这点分得的这边上的两条线段的比，只要先把多边形变成三角形后就行。对吗？”我批语道：“你已推广了胡玲提出的命题，很好，且你是对的，请试一试能不能给出证明”。鼓励学生结合解题后的反思，提出问题，并将其指定为反思内容之一，既能充分发挥学生的主体性，又能形成师生互动、生生互动的教学情境，还能培养学生的不断探索的精神，从而使学生的创新意识得到保护和培养。这无疑对学生“心态的开放，主体的凸现，个性的张显”是十分有益的。
三、通过解题后对习题特征进行反思，用自己的语言或数学语言对习题进行重新概述，培养思维的深刻性，促进知识的正向迁移，提高解题能力。
思维的深刻性表现在通过表面现象和外部联系提示事物的本质特征，进而深入地思考问题，解完题后经常通过反思题目的特征，加深对题目本质的领悟，从而获得一系列的思维成果，积累属于个人的知识组块，有助于培养思维的深刻性，从而促进知识的正迁移。如：
案例3：解完“如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，求证：AB·AC = AE·AD”后，引导学生对题目
本质特征进行反思，发现此题的圆可以不画出来，因为
任意三角形都有外接圆，其处接圆的直径则是客观存在
的。直径的位置不一定要画在如图的位置，只要有三角
形外接圆的直径出现，就应该有上述结论。通过对题目
本质的领悟，再用自己的语言对习题进行概述就得到了“任三角形的两边、第三边上的高，和它外接圆直径四个量中任知其中三个，就可以求得第四个”，“三角形外接圆的直径等于外接圆直径和等三边上的高的积”通过反思，由于学生已形成了求任意三角形外接圆直径的一种特殊方法性的知识组块，所以在一次公开课上，老师口述完“已知三角形两边分别是3、6，第三边上的高为2，求三角形外接圆的直径”时，学生就能脱口说出正确答案是“9”。促进了知识的正向迁移，培养了思维的每捷性。
四、反思题目结论，进行解题成果的扩大，培养思维的创造性。
思维的创造性，是指在思维活动中能以独特的心理操作方式来展开思维，是思维成果新颖，与众不同的品质。解完一个题目之后，应思考根据此题要求解的结论能否从其它角度重新审视题目，条件相似时，会有相同的结果吗？条件不变时，还能得出其它结果吗？能否从所解题目出发编出一个属于自己的新题？沿着这些思路去反思，有助于培养思维的创造性，在此方面，我所教的学生有三分之一以上经常在解完一个题以后将自己的新“发现”写在反思中。有的“发现”很肤浅，但正确，如在解完求圆的正六边形的边所对圆心角的度数之后，许多成绩教差的学生在反思中声称发现了30°的
周围角所对的弦就是圆的半径，有些“发现”即使老师也
很难在短时间内辨别其真假，如一位学生在学习了几何第
三册P87例1后，提出：“右图中，圆周角∠BAC，所以平分
线经过圆心，过圆心O的直线交AB于E，交AC于F，则 + = 一个定值”。
我花了较长的时间也没能说明其真假，并用特殊的方法证明此结论是错误的。我告诉他结论可能不成立，但他始终坚持自己的猜想是正确的，并经过长达近一周的思考终于给出了如下简捷的证明：
“已知：AE平分已知角∠BAC，D是AE上一个点，过D的直线交两边于B、C。求证： + = 定值
证明：过D作DF // AC效AB于G
则 = ， = ∵D是定点∠BAC是一个定角
∴ + = = 1 ∴AG是一个定值
易证AG = GD ∴ 是一个定值
∴ + = 故 + = 定值。”
从这个证明中，可以看到，他通过对问题的反思已经发现此题与圆没有关系，从而得到一个涉及问本质的简单图形和已知条件，这种不迷信权威的精神，正是我要培养的和希望见到的，我在他的作业本上高兴地写道：“你的这种执著的探索精神，让老师体会到了教学相长的真正含义。”
又如另一位学生在作如下题以后抓住问题的本质特征，自己创编了一个很好的新题目并给出了解答。
原题：“如图，⊙O和⊙O都经过A、B两点，过点B作直线分⊙O于C，分⊙O于D，G为圆外一点，GC交⊙O于E，ED交⊙O于F，求证：∠GEA + ∠GFA = 180°”
新创题：⊙O和⊙O交于AB，过B的直线交⊙O于C，交⊙O于D，E在上，F在上，则∠AEC + ∠AFD = 180°
五、除在教学过程中有意识地对学生进行思维训练外，用一段时间进行专门解题思维训练是提高学生解题能力和反思能力的有效途径。
我曾用一周的时间以张庆林《当代认知心理学在教学中的应用》一书中介绍的“解决几何问题思维训练教程”为框架，以“几何解题思维训练研究”为课题用一周的时间对学生进行了“直觉判断思维”、“充分利用已知条件”、“使已知条件与未知取得联系”、“解题后的反思”等方面的训练研究，学生反应良好。充分说明了思维训练应该结合数学学科的特点并用专门的集中的时间进行的必要性。下面摘录几位学生在上了思维训练课后的体会。
周礼说：“很高兴能用这种方法上课，的确这样下去比上几节奥赛课还管用”。
周玉杰说：“我觉得老师这段时间的课特别吸引我，这个周的数学课绝对是我有史以来最认真的，我也不知道这是为什么，大概是觉得这样上课比较实用吧？”
徐洋说：“本周作业完成的较好，……我觉得自己对数学的兴趣最近越来越浓厚，我越来越渴望解题。”
蒋小林说：“通过上周的学习，我把以前的不会做的题拿来做，结果很大部分都会做了。”
向小波说：“本周通过老师的几何思维训练研究的传授，我头脑中已形成了固定的解题模式，和怎样去探索图形以外的知识方法，一周的学习，使我受益不浅，我会利用这些知识去解题，去积累经验。”
邹元梅说：“通过本周的思维训练，我觉得自己在解几何方面有很大进步，特别是解题思维上有很大进步，我知道了写作业后的反思在学习上是有多重要，也知道了怎样写反思。……”
一位家长在学生作业本上写道：“学生的每一点进步，都凝聚着老师的大量心血，作为家长，我衷心感谢黎老师颇具启发性、创造性的教学实践，同时，我也希望刘丹同学在学习中不断提高自身的逻辑思维的严密性，主动向老师请教。”
这些反馈信息，使我感受到了教育实践被别人存认时那种成功的喜悦，更坚定了我进行教学改革的决心。
六、将反思对象扩展到学生上课时的各种认知活动和认知态度。
结合布卢姆的估计，引起学生成绩变化的原因中认知准备状态约占50%，情感准备状态占25%，教学质量约占25%，三者互相包容，重合在一起约占学生成绩变化的90%，其余10%的原因是教师、班级、学校因素造成的。
指导学生在对解题前先对自己本节课的学习态度、参与程度、预习情况、情感准备形态以100分制给自己打一个自认为合适的学习态度分，并对自己所打的分作简单的解释，老师对这个分数不作任何评价。
学生每次作业前给自己的学习态度打分，对培养学生的自我效能感，对自己在学习中的地位和作用（主体意识）的认识都应有积极的促进作用，从学生对一个小小的自评分数的简短分析中，老师往往可以找到实施学法指导、正确归因指导和心理指导的切入口，使学生学会更好地监视、评价、调节、修正自己的认知活动，培养学生的无认知能力，因此，能提高解决问题的能力和学业成绩。
从学生自评分数来看，五分之二的学生分数在60 ~ 70之间，约五分之三的学生分数在75 ~ 98之间，没有一个自评100分的。存在的主要问题是上课精力不集中，对数学学习无兴趣，课前认知和情感准备差，这无疑为教师提供了一个必须进一步提高自己的教学水评的一个警示信息。因此，学生自评分数对改进学生的学和教师的教无疑都起到了一个调控提示作用。
从以上几个案例，我们已能看出落实解题后的反思，对提高学生数学思维能力方面有其重要的意义，它是由知识到能力的一条必由之路。为此，有如下一些体会：
体会之一：通过解题后的反思，可使解题过程对象化和结果化，形成新的知识和属于个人的知识组块，从而提高解题速度如案例3中由于学生在反思中形成了“三角形任意两边之积除以第三边上的高等于外接圆直径”这个知识组块，从而在解答老师口述“已知三角形两边和第三边上的高，求外接圆直径”的问题时，能迅速说出答案。这说明反思结果的运用，可宿短解题思维航程，使思维更加敏捷。大家都知道，数学在锻炼人的逻辑思维能力方面有着特殊的作用。而这种锻炼应是在学生独立活动过程中获得的，无论是几何还是代数，要求学生写出解题后反思，就象要求学生亲自下水去学会游泳一样，要学会思维就应该经常有意识的将自己的思维作为思考对象。就如郑毓信所指出的那样，“只有通过‘脱身’出来，作为旁观者来看待自己刚才做的事，将自己所做的过程置于被自己思考的地位加以考虑”，只有这样才能帮助学生较好地实现代数中“程序性知识观点”向“结构性观点”转变，我们应努力使所说的观点转变成为一种自觉行为。数学是思维的科学，通过反思，让学生将自己的思维作为思维对象，应该是非常合理的。在反思中，发现并用文字语言概述规律、知识要点，既可以巩固基础知识又能发展学生的概括能力，因此，每次作业写反思，还能使学生形成概括化的认知特点，从而提高数学能力。
体会二：实验表明，反思对学生思维品质的各方面的培养都有作积极的意义。案例中已说明，反思题目结构特征可培养思维的深刻性，反思解题思路可培养思维的广阔性，反思解题途径，可培养思维的批判性，反思题结论，可培养思维的创造性，运用反思过程中形成的知识组块，可提高学思思维的敏捷性，反思还可提高学生思维自我评价水平，从而可以说反思是培养学生思维品质的有效途径。
有研究发现，数学思维品质以深刻性为基础，而思维的深刻性是对数学思维活动的不断反思中实现的，大家知道，数学在锻炼人的逻辑思维能力方面有特殊的作用，而这种锻炼老师不可能传授，只能是由学生独立活动过程中获得。因此，在不增加学生负担的前提下，要求作业之后尽量写反思，利用作业空出的反思栏给老师提出问题，结合作业作出合适的反思。对学生来说是培养能力的一项有效的思维活动，从所教学生来看，一部分学生根本不按老师要求进行作业后的反思，而这部分学生95%的数学能力很低、成绩差，他们只会做“结构良好”的题目，以获得对问题的答案为目标，不会提问，这部分学生中，没有一个会对命题进行推广，而坚持写反思的学生情况就大不一样，因此，培养学生反思解题过程是作业之后的一个重要环节，具有很大的现实意义。
实践还表明，培养学生把解题后的反思应用到整个数学学习过程中，养成检验、反思的习惯，是提高学习效果、培养能力的行之有效的方法。解题是学生学好数学的必由之路，但不同的解题指导思想就会有不同的解题效果，养成对解题后进行反思的习惯，即可作为学生解题的一种指导思想。
体会之三：只有使学生的认识以抽象到（理论）具体，才能达到对数学理论的深刻认识，只有在理论的运用过程中不断对理论的实质、作用进行有目的的反思，才能使抽象理论建立在丰富的具体背景上，如果获得结论后就此终止，不对获得结论的过程进行反思回顾，那么，数学活动就可能停留在经验水平上，事倍功半，造成入宝山而空手反的遗憾。如果在得到结论后对思路进行检验和评价，探讨成功的经验或失败的教训，那么学生的思维会在更高层次上进行概括，从而可以使对数学理论的认识上升到理性水平，事半功倍，就会有入宝山后满载而归的愉悦。就如黄璜同学说的“我喜欢写反思，就象刘××喜欢照镜子一样，每当我写反思的时候，就像看见了自己的思路，很清晰，很爽朗。我还把反思带入了其它学科，不管都 看不看，我只要写了，就会有成就感，感谢上帝，让我拥有这些好习惯”。因此，利用反思在提高学生思维自我评价水平的同时，也培养了学生的数学思维品质。
体会之四：有了作业反思的要求，师生在教学上便产生了互动和交往，根据从学生的反思老师可以随时了解学生知识的掌握情况、学习态度等很多有利于教学的信息。如圆这个概念应该说很简单吧，但学生学习直线和圆的位置关系时，从反思提问中暴露出有许多优秀的学生也没有真正掌握他。如认为直线与圆可以有三个交点，其中一个点是圆心，认为直线与圆有无数个交点的可能，因为直线与圆相交时，便有许多半径和圆相交，结合这种情况我在上新课时用形象的比喻，我说圆心和半径就象你的父母一样，它可产生圆但不是圆，它与圆有关但不是圆，就象你的父母与你有关，但父母不是你一样，这样一来，学生终于搞清了什么是圆，有了反思要求，老师在作业批改时给学生对话性的批语增加了，增强了师生感情。如果学生写了反思你不发表点意见他反而对老师有意见，如一位学生有一次在作业中写道：××的作业每次你都给他写了批语，为什么我的你有时写有时不写，是不是我的反思写得不好。还有一位学生写道：老师，你有几次都没给我写批语了，只是打个勾，为什么？这说明有了反思，必有交往，有了交往，学生的主体精神必然凸显出来，这说明老师不只是传播知识，还应和学生一起分享学生的成果。
体会之五：有了作业反思的要求，促使教师教学方法的改革，使老师在教学过程中更加重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程、知识的形成过程、发展过程、解题思路的探索过程、解题方法和规律的概括过程中的思维展现，使学生在这些过程中能够效仿老师展开思维，从而发展他们的能力。
总之，作业中反思环节是学生提高数学能力的一条捷径，有了反思要求，老师就不会出现一味强调反复操练的盲目性要求，有了反思学生就会既见树木，又见森林，就很容易把数学过程对象化，而不只是把数学看作就是一些过程，一些细枝末节，除此之外没有别的东西。有了反思就不会停留在把过程、法则当作无意义的符号游戏的认识上，有了反思，使学生的学习观念不只停留在会算、会变形、会套公式的认识上，知道还有更重要的东西要学，那就是数学思维方法，数学语言的学习。因此，我们只须给学生适量的作业，只要能达到继续上升的基本要求就行，关键在于“指导学生将注意力转移到对数学过程和自己的解题过程的反省上来”，促进学生从过程性知识升上到对象性知识，大量的练习会占据学生形成对象性知识建构所需要的时间，“使差生为了完成作业疲于奔命，只能就事论事，无暇顾及反思，阻断了学生对象结构形成的路，也会使好学生过久停留在此阶段，客观上延缓了上升速度。”因此，反思环节的实施过程，就是消灭“题海战术”、减负增效、进行素质教育的过程。
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