x+y+z=1，x2+y2+z2=3，求xyz最大值，怎么做

2025-03-05 00:09:53

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回答1：

平方：

x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)=1

3+2(xy+yz+zx)=1

xy+yz+zx=-1

可见，x，y，z不全是正数，也不全是负数。

x+y+z=1是一个平面，x²+y²+z²=3是一个球面，球心在原点(0,0,0),半径R=√3。

平面的法向矢量(1,1,1),cosα=cosβ=cosγ=1√(1²+1²+1²）=1/√3.

xOy平面与x+y+z=1平面的夹角=γ，sinγ=√(1-cos²γ）=√(1-1/3）=√(2/3）

两者的交集是一个圆。圆心在从O垂直于x+y+z=1平面的垂足OP，设OP=a，则P的坐标为(a/√3,a/√3,a/√3),满足平面方程：

a/√3+a/√3+a/√3=1,3a/√3=1，a=1/√3，P(1/3,1/3,1/3).

该圆的半径r=√(R²-a²）=√（3-1/3）=√(8/3）=2√(2/3）

将这个圆表示成一个参数方程。

该圆与xOy平面的交线是x+y=1，z=0，与x、y轴夹45°角；过P做该交线的平行线，x+y=1/3+1/3=2/3，z=1/3，是该圆的一条水平直径。以该直径与x轴正方向夹角小于90°的一段为正方向，以顺时针方向为正（逆该圆的法向看），一条半径与正向夹角ω。在该圆所在平面内，圆上该半径向上述正向的投影m=rcosω=√(8/3）cosω，垂直于正向的投影为n=rsinω=√(8/3）sinω，该半径的端点（圆上的一点），坐标z=Pz+nsinγ=1/3+√(8/3）sinω（√（2/√3）=1/3+（4/3）sinω

n在水平面内的投影l的长度=rsinωcosγ=√(8/3）sinω/√3=（√8/3）sinω

x=Px+mcos45°-lsin45°=1/3+√(8/3）cosω/√2-（√8/3）sinω/√2

=1/3+（2/√3）cosω-（2/3）sinω

y=Py-mcos45°-lsin45°=1/3-（2/√3）cosω-（2/3）sinω

设

k=xyz=[1/3+（2/√3）cosω-（2/3）sinω][1/3-（2/√3）cosω-（2/3）sinω][1/3+（4/3）sinω]

={[(1/3-（2/3）sinω]²-（4/3）cos²ω}[1/3+（4/3）sinω]

={[1/9-（4/9）sinω+（4/9）sin²ω]-（4/3）cos²ω}[1/3+（4/3）sinω]

=[1/9-（4/9）sinω+（4/9）sin²ω-（4/3）(1-sin²ω)][1/3+（4/3）sinω]

=[-（4/9）sinω+（16/9）sin²ω-（11/9）][1/3+（4/3）sinω]

=（1/27）（16sin²ω-4sinω-11）（1+4sinω）

=（1/27）(64sin³ω-48sinω-11）