数学选修2-2知识点

选修2-2
第一章 导数及其应用
平均变化率
导数（或瞬时变化率）
导函数(导数)：
导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝(x0)．
应用：求切线方程，分清所给点是否为切点
导数的运算：
(1)几种常见函数的导数：
①(C)′＝0(C为常数)； ②()′＝(x＞0，)； ③(sinx)′＝cosx；
④(cosx)′＝－sinx； ⑤(ex)′＝ex； ⑥(ax)′＝axlna(a＞0，且a≠1)；
⑦； ⑧(a＞0，且a≠1)．
(2)导数的运算法则：
①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)； ②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；
③.
设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点处也有导数，且 或。复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。
定积分的概念，几何意义，区边图形的面积的积分形式表示，注意确定上方函数，下方函数的选取，以及区间的分割.微积分基本定理.
物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题。
函数的单调性
（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数；
（2）如果在某区间内恒有，则为常数。
★★★反之，若已知可导函数在某个区间上单调递增，则，且不恒为零；可导函数在某个区间上单调递减，则，且不恒为零.
求单调性的步骤：
确定函数的定义域（不可或缺，否则易致错）；
解不等式；
确定并指出函数的单调区间（区间形式，不要写范围形式），区间之间用“，”★隔开，不能用“”连结。
极值与最值
对于可导函数，在处取得极值，则.
最值定理：连续函数在闭区间上一定有最大最小值.
若在开区间有唯一的极值点，则是最值点。
求极值步骤：
确定函数的定义域（不可或缺，否则易致错）；
解不等式；
检验的根的两侧的符号（一般通过列表），判断极大值，极小值，还是非极值点.
求最值时，步骤在求极值的基础上，将各极值与端点处的函数值进行比较大小，切忌直接说某某就是最大或者最小。
恒成立问题 “”和“”，注意参数的取值中“=”能否取到。
例1 ，过的切线方程为
例2 设函数在处取得极值。
（1）求的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。
（答：(1)a=-3,b=4;(2)）
例3 设函数
（1）求函数的单调区间、极值.
（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围.
（答：（1）在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减；时，，时， （2）a的取值范围是）

第二章 推理与证明
分清概念：合情推理与演绎推理
综合法 分析法的步骤规范
反证法 步骤：①提出反设；②推出矛盾 ；③肯定结论
数学归纳法 步骤规范：（1）归纳奠基；（2）递推步骤
（最后一定说明当n=k+1时，结论成立，根据（1）（2），结论对于(或者其他)成立，必不可少）
例1 用综合法和分析证明
例2 已知
例3 ，求的值，由此猜想的通项公式，并证明。
（答：）

第三章 数系的扩充与复数的引入
复数的概念 三种表示形式：代数形式：，复平面内点Z(a,b)，向量.
区分实数，虚数，纯虚数，复数
复数的四则运算及其几何意义
复数的模
例1 （）的充要条件是_________________________
例2 设复数满足条件那么的最大值是（ ）
（A）3 （B）4 （C） （D）

例3 实数为何值时，复数．
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数；
（4）对应点在第二象限.
例4．已知为实数．（1）若，求；（2）若，求，的值．

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