求∮√x^2+y^2ds（其中L为圆周x^2+y^2=ax）的积分值

积分路径(x-a/2)+y=a/4是一个圆心在(a/2，0)，且半径r=a/2的圆；

在坐标上画出此 圆，此圆与y轴相切于原点，设与x轴的另一交点为A，于是︱OA︱=a。

在其上半圆上 任取一点P(x，y)，联接OP，并设∠POA=t；那么∠OPA=90°(直径上的圆周角)，故 x=OPcost，y=OPsint；

而OP=acost，代入即得x=acost=(a/2)(1+cos2t)， y=asintcost=(a/2)sin2t.；

这样，积分限为[-π/2，π/2]。 

要注意的是：不能把此圆的参数方程写成x=a/2+(a/2)cost=(a/2)(1+cost)，y=(a/2)sint； 因为这样转化，积分限为[0，2π]，最后得∮√(x+y)ds=0。

扩展资料

把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。只要是上方的函数减去下方的函数，然后积分，就绝对不会出现符号问题。

平时的积分，由于减去的是x轴的函数，也就是y=0；而在x轴下方的图形，自然要x轴的函数减去x轴下方的函数，也就是 0 - f(x) = - f(x)，这就是负号的来源。负号不是人为加上去的，而是由x轴减下方函数所固有的。

求∮√(x²+y²)ds（其中L为圆周x²+y²=ax）的积分值
解：L：x²-ax+y²=(x-a/2)²+y²-a²/4=0，故得(x-a/2)²+y²=a²/4，这是一个圆心在(a/2，0)，半径r=a/2的圆；故写成参数形式就是：x=(a/2)(1+cos2t)，y=(a/2)sin2t，t∈[-π/2，π/2].
ds=√[(dx/dt)²+(dydt)²]dt=√[(-asin2t)²+(acos2t)²]dt=adt
故∮√(x²+y²)ds=[-π/2，π/2]a∫√[(a²/4)(1+cos2t)²+(a²/4)sin²2t]dt
=[-π/2，π/2](a²/2)∫√(2+2cos2t)dt=[-π/2，π/2][(√2)a²/2]∫√(1+cos2t)dt
=[-π/2，π/2][(√2)a²/2]∫√(2cos²t)dt=[-π/2，π/2](a²)∫costdt
=(a²)sint︱[-π/2，π/2]=a²[sin(π/2)-sin(-π/2)]=2a².