85问答库 > 极限lim a^(1⼀n) （n趋于正无穷大=1 ，0<a<1,

极限lim a^(1⼀n) （n趋于正无穷大=1 ，0<a<1,

详细证明 lim a^(1⼀n) =1（n趋于正无穷大），其中 0<a<1,

2024-12-03 14:18:09

推荐回答（3个）

回答1：

只需证明当a>1时结论成立。记a^(1/n)＝1+q>1，q>0，则
a＝(1+q)^n=1+nq+...，于是nq故有|a^(1/n)－1|＝q<(a－1)/n，由此可以用定义得到当
n趋于无穷时，a^(1/n)的极限是1。
于是若a<1，则1/a>1，故lim a^(1/n)=lim 1/(1/a)^(1/n)=1/1=1。
倒数第二个等号是极限的四则运算。

回答2：

lim(1/n)在当n趋于无穷大时，该极限为零，故当lima^(1/n)在n趋于无穷大时的极限为1

回答3：

令
t = 1/n
n->∞
t->0
上表达式可为
lim a^t t->0
f(t) = a^t 在 t=0 领域有定义
故
lim a^t t->0 => a^0 = 1