二重积分与三重积分的区别与联系

2024-11-14 02:13:49

推荐回答（5个）

回答1：

二重积分的实质：表示曲顶柱体体积。三重积分的实质：表示立体的质量。

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。

重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

多重积分简介：

例如求f(x,y)或者f(x,y,z)类型的多元函数的积分。

正如单参数的正函数的定积分代表函数图像和x轴之间区域的面积一样，正的双变量函数的双重积分代表函数所定义的曲面和包含函数定义域的平面之间所夹的区域的体积。

（注意同样的体积也可以通过三变量常函数f(x,y,z) = 1在上述曲面和平面之间的区域中的三重积分得到。若有更多变量，则多维函数的多重积分给出超体积。

以上内容参考：百度百科-多重积分

回答2：

1、两者的实质不同：

二重积分的实质：表示曲顶柱体体积。

三重积分的实质：表示立体的质量。

2、两者的概述不同：

二重积分的概述：二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

三重积分的概述：设三元函数f（x，y，z）在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i＝1，2，．．．，n），体积记为Δδᵢ，｜｜T｜｜＝max｛rᵢ｝；

在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf（ξᵢ，ηᵢ，ζ）Δδᵢ，若该和式当｜｜T｜｜→0时的极限存在且唯一，则称该极限为函数f（x，y，z）在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f（x，y，z）dV，其中dV＝dxdydz。

3、两者的数学意义不同：

二重积分的数学意义：在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

三重积分的数学意义：如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。

4、用途不同

二重积分和三重积分并不都是可以用来计算体积的。二重积分可以用来计算体积，而三重积分不可以用来计算体积。

回答3：

1、几何意义不同

二重积分表示曲顶柱体体积。三重积分表示立体的质量。

2、注意事项不同

二重积分的注意事项：平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。三重积分的注意事项：当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。

3、性质不同

二重积分是二维的，相当于平面。三重积分是三维的，立体的。

扩展资料：

三重积分的几何意义：

1、三重积分就是四维空间的体积。

2、当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，三维空间质量值就等于其体积值。

3、当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。

回答4：

定积分与二重积积分与三重积分有三个区别：

一、主要观点：

1、定积分概述：定积分作为积分，是函数F (x)在区间[a，b]内的积分和的极限。

2、二重积分概述：二重积分是空间中二元函数的积分，类似于定积分，以及特定形式和的极限。其实质是求出顶部弯曲圆柱体的体积。多积分被广泛应用于计算平面切片的表面积和重心。

3、三重积分的概述：三元函数f (x， y，z)区域Ω一阶连续偏导数，Ω任意分成n个小区域，每个小区域的直径为rᵢ记得(I = 1，2，……，n)。

卷记录Δδᵢ| | T | | = Maxᵢ{r}，在每个小f区(因子ᵢ，ηᵢ，ζᵢ)，作为一个永久Σf(因子ᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，如果类型当| | T | | - > 0极限存在和唯一的(即无关的选择分割点Ω)；

被称为极限函数f (x，y，z)地区Ω三重积分，记得∫∫∫f (x，y， z) dV， dV = dxdydz其中。

二、几何意义:

1、定积分的几何意义：表示平面图形的面积。

2、二重积分的几何意义：表示曲面顶柱体的体积。

3、三积分的几何意义：表示立体的质量。

三、预防措施不同：

1、定积分注意事项：对于一个函数，可以有不定积分，但没有定积分：可以有定积分，但不能有不定积分。对于连续函数，必须存在定积分和不定积分：如果只有有限个不连续点，定积分就存在。如果有跳转断点，那么函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

2、二重积分注意事项：平面区域的二重积分可以推广到高维空间(有向)表面上的积分，称为表面积分。

3、三次积分注意:积分函数为1时，密度均匀分布，为1，质量等于其体积值。当积分函数不为1时，密度分布不均匀。

定积分、二重积分和三重积分是高等数学中的重要内容，其中，定积分是学习二重积分和三重积分的基础。

参考资料：百度百科-二重积分

参考资料：百度百科-三重积分

回答5：

在做三重积分的时候，把里面的两个积分号看作一个整体，由内往外做就可以了。
二重积分是二维的，相当于平面。三重积分是三维的，立体的。