中心极限定理的证明的全部材料都在下面了，你看一看就知道了。
一、例子
[例1] 高尔顿钉板试验.
图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.
如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且
那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.
二、中心极限定理
设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立
称服从中心极限定理.
[例2] 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.
解:服从中心极限定理,则表明
其中.由于,因此
故服从中心极限定理.
三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理
在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则
[例3] 用频率估计概率时的误差估计.
由德莫佛—拉普拉斯极限定理,
由此即得
第一类问题是已知,求,这只需查表即可.
第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.
第三类问题是已知,求.
解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计: .
[例4] 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?
解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得. 由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.
[例5] 已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:
的随机变量.求.
解:
因为很大,于是
所以
利用标准正态分布表,就可以求出的值.
[例6] 某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.
解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.
如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,
查表得,,故取.于是
取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.
[例7] 根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.
解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.
由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有
其中,即有
四、林德贝格-勒维中心极限定理
若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有
证明:设的特征函数为,则
的特征函数为
又因为,所以
于是特征函数的展开式
从而对任意固定的,有
而是分布的特征函数.因此,
成立.
[例8] 在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.
设有个数,它们的近似数分别是,.,.令
用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,
以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有
[例9] 设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.
证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有
由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.
作业:
P222 EX 32,33,34,35
五、林德贝尔格条件
设为独立随机变量序列,又
令,对于标准化了的独立随机变量和
的分布
当时,是否会收敛于分布?
[例10] 除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地小”.
设是独立随机变量序列,又,,这时
(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有
(2)若是离散型随机变量,的分布列为
如果对于任意的,有
则称满足林德贝尔格条件.
[例11] 以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地小”.
证明: 令,则
于是
从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有
这个关系式表明, 的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地小”.
六、费勒条件
设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.
林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.
七、林德贝尔格-费勒中心极限定理
引理1 对及任意的,
证明:记,设,由于
因此, ,其次,对,
用归纳法即得.
由于,因此,对也成立.
引理2 对于任意满足及的复数,有
证明:显然
因此,
由归纳法可证结论成立.
引理3 若是特征函数,则也是特征函数,特别地
证明 定义随机变量
其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸 独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知 成立.
林德贝尔格-费勒定理
定理 设为独立随机变量序列,又 .令 ,则
(1)
与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.
证明:(1)准备部分
记
(2)
显然(3)
(4)
以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么 (5)
这时
因此林德贝尔格条件化为:对任意,
(6)
现在开始证明定理.设是任意固定的实数.
为证(1)式必须证明
(7)
先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:
(8)
事实上,由(3)知,又因为
故对一切,
把在原点附近展开,得到
因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有
(9)
这时
(10)
对任意的,只要充分小,就可以有
(11)
因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有
(12)
因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.
(2)充分性
先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,
(13)
右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.
其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,
当时,
当时,
因此
(14)
对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.
(3)必要性
由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,
(15)
上述被积函数的实部非负,故
而且
(16)
因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得
故林德贝尔格条件成立.
八、李雅普诺夫定理
设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有
则对于任意的,有
http://www.ilib.cn/A-sxzz200403019.html
设{X,Xn,n≥1}为独立同分布的服从某连续分布F的随机变量序列,X(1)=X1,X(2),X(3),…为其纪录值序列.令ψ(u)=r1(1-e-k),其中F-1是F的反函数.本文研究当ψ(u)=lopu时Tn=∑nk=1x(k)d=∑nk=1ψ(Sn)的极限性质,解决了p为所有正整数时Tn的中心极限定理.
这个是A.N shiryaev在Probability（GMT 95）中的证明 http://riemann.iblog.com/resource/228252/274539
如果看不懂，我这里还有，Shelom M.Ross
A First course in Probability,中的较简单的CLT的证明.
你是不是对 “分布的收敛等同于相关函数的逐点收敛定理”这个条件不清楚啊？这个东西的证明在一般的概率论书介绍了特征函数之后都会说几句的。对了，不是什么相关函数，应该是其分布对应的特征函数。
用特征函数来证CLT比用linderberg的方法来说简化多了，不用对一个一个三角形序列来算。这种方法是李雅普洛夫发明的，你倒是没有必要再看他的原文了，因为他的思想基本上就是你自己描述的那样。
没人回答的话就送给我了
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