为什么实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数

2025-04-01 09:03:37

推荐回答（3个）

回答1：

如果矩阵可以对角化，那么非零特征值的个数就等于矩阵的秩，如果矩阵不可以对角化，那这个结论就不一定成立了
由于对称矩阵一定可以对角化，因此对于对称矩阵来说，非零特征值的个数就等于矩阵的秩

回答2：

实对称矩阵都可以相似对角化，相似对角化不改变矩阵的秩，
故其秩即为非零特征值的个数。

回答3：

可对角化时,
存在可逆矩阵P使得
P^-1AP=diag(a1,..,an)
则
R(A)
=
R(P^-1AP)
=
Rdiag(a1,...,an)
=
a1,...,an中非零元素的个数
而A的特征值即
a1,...,an
所以
R(A)
等于A的非零特征值的个数.