什么是“欧几里德范数”（Euclidean norm）？

Euclidean范数指得就是通常意义上的距离范数。

比如||X||=ρ(X,0)=Sqrt(X1^2+X2^2+...+Xn^2)

扩展资料

欧几里德为了教学的需要编成了一部“几何学要”。

这部书共分十五卷，第一、二、三、四、六卷都是关于平面几何的。第五卷是关于一般的比例图形。第七、八、九卷是关于算术方面的。第十卷是关于直线上的点。最后五卷则是关于立体几何的。

这部书的材料虽然大部分是前人留下来的，证题方法也多沿用希腊人的，但欧几里德不仅增加了自己的工作，最主要的是建立了严格的几何的体系。他把以前不严格的证明重加论证，再经过一番非常精细的整理和排列。

他整理出的这一套几何体系在几何学中占据了统治的地位达二千多年，那时欧几里德的名字可以说是几何学的同义语。

参考资料来源：百度百科：欧几里德

Euclidean范数指得就是通常意义上的距离范数。

比如||X||=ρ(X,0)=Sqrt(X1^2+X2^2+...+Xn^2)

x是n维向量(x1,x2,…,xn)，
||x||＝根号(|x1|方+|x2|方+…+|xn|方)

补充：开平方，跟几何一样

扩展资料

诱导范数

把矩阵看作线性算子，那么可以由向量范数诱导出矩阵范数　║A║ = max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0} ，它自动满足对向量范数的相容性　║Ax║ ≤ ║A║║x║，　并且可以由此证明　║AB║ ≤ ║A║║B║。

注：1.上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的(有限开覆盖定理)，从而上面的连续函数可以取到最值。

2.显然，单位矩阵的算子范数为1。

常用的三种p-范数诱导出的矩阵范数是：

1-范数：║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值)　(其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其余类似)；

2-范数：║A║2 = A的最大奇异值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (欧几里德范数,谱范数,即A^H*A特征值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵)；

∞-范数：║A║∞ = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| } (行和范数，A每一行元素绝对值之和的最大值)　(其中为∑|a1j| 第一行元素绝对值的和，其余类似)；

其它的p-范数则没有很简单的表达式。

对于p-范数而言，可以证明║A║p=║A^H║q，其中p和q是共轭指标。

简单的情形可以直接验证：║A║1=║A^H║∞，║A║2=║A^H║2，一般情形则需要利用║A║p=max{y^H*A*x：║x║p=║y║q=1}。

参考资料：百度百科 范数

设E为欧几里得向量空间. 使E的任一向量x对应其纯量平方的平方根的映射x↦...是E上的一种范数，称为欧几里得范数.

欧几里德范数

主条目：欧几里德距离

在n维欧几里德空间Rn上，向量x =(x1, x2,
..., xn)的最符合直觉的长度由以下公式给出

根据勾股定理，它给出了从原点到点x之间的（通常意义下的）距离。 欧几里德范数是Rn上最常用的范数，但正如下面举出的，Rn上也可以定义其他的范数。然而，以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构，因此它们在某种意义上都是等价的。

扩展资料：

欧几里德为了教学的需要编成了一部“几何学要”。

这部书共分十五卷，第一、二、三、四、六卷都是关于平面几何的。第五卷是关于一般的比例图形。第七、八、九卷是关于算术方面的。第十卷是关于直线上的点。最后五卷则是关于立体几何的。

这部书的材料虽然大部分是前人留下来的，证题方法也多沿用希腊人的，但欧几里德不仅增加了自己的工作，最主要的是建立了严格的几何的体系。他把以前不严格的证明重加论证，再经过一番非常精细的整理和排列。

他整理出的这一套几何体系在几何学中占据了统治的地位达二千多年，那时欧几里德的名字可以说是几何学的同义语。

参考资料：范数

1、欧几里得范数指得就是通常意义上的距离范数。例如在欧式空间里，它表示两点间的距离(向量x的模长)。

2、||x||表示向量的长度，计算方法依然是向量各个元素模的平方之和再开方。

扩展资料：

欧式范数的定义式为：

类似的形式一般化后，就是所谓p-范数，其定义式为：

特别地，有∞-范数，其定义式为：

对于这些范数，有以下的不等式成立：

欧式范数其实就是三维空间距离向欧式空间的延伸。

参考资料：

范数——MathWork中国

x是n维向量(x1,x2,…,xn)，
||x||＝根号(|x1|方+|x2|方+…+|xn|方)

补充：开平方，跟几何一样