数学系数学分析 证明下列数列是发散的

数学分析中有一个定理：收敛数列的性质：收敛数列的任一个子列都收敛，而且极限值相同。
这个定理的逆否命题就是：如果一个数列的两个子列收敛但极限不相同，或者有一个子列不收敛，那么原数列就不收敛。

对于你的这三个数列，方法都一样，只要找到两个收敛但极限不相同的子列就可以了。
（2）让sin npi/3 = 0，不妨让npi/3=kpi, 则 n =3k即可满足要求，下标为3,6,9,...3k,...的子列收敛，极限为0.
再让sin npi/3=根3/2, 不妨让 npi/3=2kpi+pi/3, 则n=6k+1即可满足要求。下标为7,13,19,25,...6k+1,...的子列收敛，极限为sinpi/3=根3/2

（3）n分成奇偶数两种情况，即奇数子列与偶数子列，都收敛，但极限正负1，不相等。

（4）类似（3）的情况。

如果你的这个定理还没学，那就用柯西定理来证明。可以证明数列不满足柯西条件。如果柯西定理也没学，那就看看华东师范大学的教材4版，上面有类似的题目证明。用极限定义来证明不收敛。

第二题，你只要使得一个子列的 n为2k+1，一个2k+2，它们的值不等，所以发散，
第三题，当n趋于无穷大时，n-1/n趋于1，但是n 的奇偶决定前面是1或-1，所以发散，
第四题，你把分子分母同时除以5的n次方，然后取极限，n分奇偶，一个是1/5，一个是-1/5，所以发散！