高等数学 讨论函数的连续性和可导性 f(x)=lim(n→+∞)(x^2*e^n(x-1)+ax+b)⼀(1+e^n(x-1)) 详见问题补充

case 1: x>1
f(x)= lim(n->+∞) { x^2. e^[n(x-1)] + ax+b }/{ 1+ e^[n(x-1)] }

= lim(n->+∞) { x^2 + (ax+b)/e^[n(x-1)] }/{ 1/e^[n(x-1)] + 1 }

={ x^2 + 0 }/{ 0 + 1 }

=x^2

case 2 : x<1

f(x)= lim(n->+∞) { x^2. e^[n(x-1)] + ax+b }/{ 1+ e^[n(x-1)] }

= lim(n->+∞) { x^2/e^[n(1-x)] + ax+b }/{ 1+ 1/e^[n(1-x)] }

={ 0 + ax+b }/{ 1+ 0 }

=ax+b

case 3 : x=1

f(x)= lim(n->+∞) { x^2. e^[n(x-1)] + ax+b }/{ 1+ e^[n(x-1)] }

= lim(n->+∞) ( 1 + a+b )/( 1+ 1 )

=( a+b+1)/2

连续函数

闭区间上的连续函数具有一些重要的性质，是数学分析的基础，也是实数理论在函数中的直接体现。下面的性质都基于f(x)是[a,b]上的连续函数得出的结论。

闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。

证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。

反证法，假设f(x)在[a,b]上无上界，则对任意正数M，都存在一个x'∈[a,b]，使f(x')>M。

特别地，对于任意正整数n，都存在一个xn∈[a,b]，使f(xn)>n。

如图，要理解不同函数的变化趋势

如图，如有疑问或不明白请追问哦！

case 1: x>1
f(x)
= lim(n->+∞) { x^2. e^[n(x-1)] + ax+b }/{ 1+ e^[n(x-1)] }
= lim(n->+∞) { x^2 + (ax+b)/e^[n(x-1)] }/{ 1/e^[n(x-1)] + 1 }
={ x^2 + 0 }/{ 0 + 1 }
=x^2
case 2 : x<1
f(x)
= lim(n->+∞) { x^2. e^[n(x-1)] + ax+b }/{ 1+ e^[n(x-1)] }
= lim(n->+∞) { x^2/e^[n(1-x)] + ax+b }/{ 1+ 1/e^[n(1-x)] }
={ 0 + ax+b }/{ 1+ 0 }
=ax+b
case 3 : x=1
f(x)
= lim(n->+∞) { x^2. e^[n(x-1)] + ax+b }/{ 1+ e^[n(x-1)] }
= lim(n->+∞) ( 1 + a+b )/( 1+ 1 )
=( a+b+1)/2