高等数学，多重积分的应用，在线等，重谢！！！！

2025-03-22 03:28:28

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回答1：

D: x^2+y^2=ax, 即 r=acost, 0≤r≤acost, -π/2≤t≤π/2.
曲面 z=±√(a^2-x^2-y^2), 则
dS=√[1+(z')^2+(z')^2]dxdy=adxdy/√(a^2-x^2-y^2)
=ardrdt/√(a^2-r^2),
由对称性，曲面有相同的2块，得
S = 2∫∫√[1+(z')^2+(z')^2]dxdy
= 2∫∫adxdy/√(a^2-x^2-y^2)
因D关于x轴对称，积分函数是y的偶函数，则
S = 4∫<0,π/2>dt∫<0,acost>ardr/√(a^2-r^2)
= 2a∫<0,π/2>dt∫<0,acost>[-d(a^2-r^2)]/√(a^2-r^2)
= 2a∫<0,π/2>dt[-2√(a^2-r^2)]<0,acost>
= 4a^2∫<0,π/2>（1-sint）dt
=4a^2[t+cost]<0,π/2> = 4a^2(π/2-1) = 2(π-2)a^2.