（1）证明：因为an+1=2an+n-1（n∈N*），所以an+1+（n+1）=2（an+n）（n∈N*），
所以数列{an+n}是以a1+1=
为首项，2为公比的等比数列；1 2
（2）解：∵数列{an+n}是以a1+1=
为首项，2为公比的等比数列1 2
∴an+n=
×2n-1=2n-2，即an=2n-2-n，1 2
∴数列{an}的前n项和为Sn=
-
(1?2n)1 2 1?2
=2n?1?n(1+n) 2
?n(1+n) 2
；1 2
（3）解：对任意的n∈N*，Sn+1-2Sn=2n?
?(2+n)(1+n) 2
-2[2n?1?1 2
?n(1+n) 2
]=1 2
(n2?n?1)1 2
当n∈N*时，
(n2?n?1)是增函数，1 2
n=1时，
(n2?n?1)=-1 2
＜0，即Sn+1-2Sn＜0，所以Sn+1＜2Sn；1 2
n=2时，
(n2?n?1)=1 2
＞0，即Sn+1-2Sn＞0，所以Sn+1＞2Sn；1 2
n＞2时，
(n2?n?1)＞1 2
＞0，即Sn+1-2Sn＞0，所以Sn+1＞2Sn；1 2
综上，当n=1时，Sn+1＜2Sn；当n≥2时，Sn+1＞2Sn．
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