计算全微分

1、由于P=x2+y，Q=x-2y满足Qx=Py，因此是一个全微分方程

∴存在函数u（x，y），使得du=（x2+y）dx+（x-2y）dy

∴u(x，y)＝∫ [(0，0),(x，y)] (x2+y)dx+(x−2y)dy

=∫ [0,x]x2dx+∫[0,y](x−2y)dy

=1/3x^3+xy−y^2

而du=0，因此u（x，y）=C，故

x3 /3+xy−y^2＝C

2、第二个问题如下：

扩展资料

如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量

Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)

可以表示为

Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，

其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即

dz=AΔx +BΔy

该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。

参考资料来源：百度百科-全微分

dx的系数5x^4+3xy^2-y^3对x求积分得：x^5+(3/2)x^2y^2-xy^3+g(y)
dy的系数3x^2y-3xy^2+y^2对y求积分得：(3/2)x^2y^2-xy^3+(1/3)y^3+h(x)
上下比较一下，h(x)=x^5+C，g(y)=(1/3)y^3+C
所以 u(x，y)=x^5+(3/2)x^2y^2-xy^3+(1/3)y^3+C，这个函数的全微分就是：
(5x^4+3xy^2-y^3)dx+(3x^2y-3xy^2+y^2)dy 自己可以去验证一下，

验证(5x^4+3xy²-y³)dx+(3x²y-3xy²+y²)dy=0是全微分方程，并求其通解。

∴是全微分方程；其通解为：

捡验：

完全正确。