怎么证明 ：协方差矩阵是半正定的？请回答

考虑概率分布组成的线性空间,显然协方差是其中的一个bilinear form，而且显然是非退化的，所以它是一个内积。

由此可知协方差矩阵是关于协方差这个内积的Gram矩阵，自然是对称半正定的，而且它是正定的当且仅当所有涉及的概率分布都是线性无关的。

协方差矩阵，基本上向量 (X - μ) 与其转置相乘，然后求期望，而期望就是个加权平均而已。这样的东西，从线性代数上讲，基本上全是半正定的。

扩展资料

若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。

协方差与期望值有如下关系：

Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。

协方差的性质：

（1）Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；

（2）Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，（a，b是常数）；

（3）Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)。

由协方差定义，可以看出Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。

参考资料来源：百度百科-协方差

参考资料来源：百度百科-协方差矩阵

这个其实，基本上，就是从协方差矩阵的定义来的。

协方差矩阵，基本上，就是向量 (X - μ) 与其转置相乘，然后求期望，而期望就是个加权平均而已。这样的东西，从线性代数上讲，基本上全是半正定的。

为了看清楚，我们一步一步来，见下图（一定要点击放大哦）：

下图中，所谓的数学期望的线性性质，就是指 E(X+Y) = E(X) + E(Y) 与 X、Y 是否独立无关。

BTW：其实不用写这么罗索，用向量写很简洁，但我怕不放心，所以展开了。用向量写的话，这么几下就完了：