质点系牛顿运动定律

在物理学史上，牛顿本人对牛顿第二定律的表述是：“运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在所加的力的那个直线方向上。”牛顿通过定义明确了这里的“运动”的量度是动量。牛顿的表述用数学公式表达出来实际上是动量定理的形式，经过后人对牛顿表述的加工，我们得到牛顿第二定律的表达式 。
按照牛顿的表述，其中“直线”的概念只适用于质点，故从本义上讲，牛顿第二定律只适用于单个质点，在现行的高中物理教材中说的是：“物体的加速度和物体所受外力的合力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向和合外力的方向相同。”该表述中明确地提出了“外力”的概念，而“外”与“内”是相互矛盾而又互相依托的两个概念，没有“内”也就没有“外”，因而高中物理教材中也就暗示了表述中的“物体”具有相互作用的内力，即物体可以被看成是一个质点系。
一、质点系牛顿第二定律
如图1所示,设有 个相互作用的质点(为了描述方便,只画出了三个质点), 质点系中的诸质点 、 、 …… 受到合外力 的作用,具有的相应加速度为： 、 、 ……
根据牛顿第二定律有： 该式是矢量表达式,如图2所示，将该式在水平方向和竖直方向投影，有：
在水平方向：
在竖直方向：
如果规定合外力的两个分力的方向为正方向，上面两个矢量表达式变成了标量式，如图，标量表达式为：
在水平方向：
在竖直方向：
二、质点系牛顿第二定律的应用
1、 组成质点系的两个质点，一个质点有加速度，其他质点无加速度
例1、如图3所示，一个内部固定有竖直杆的箱子，其总质量为M，将其放在水平地面上，一个质量为m 的环套在箱内的竖直杆上，环沿着杆以加速度 加速下滑，其此时地面对箱子的支持力为多大
分析与解：质点系由箱子和环组成，其加速度和整体受力如图4所示，由质点系牛顿第二定律得：

又因为箱子的加速度 ，所以有：

以向下为正方向，得：

于是可解得：

例2、、如图5所示，一个质量为M的斜面放在粗糙的地面上，斜面的表面光滑，一个质量为m的物块沿斜面自由下滑，斜面保持静止，求：物体在下滑的过程中，斜面受到的摩擦力和支持的的大小各多大？
分析与解：质点系由斜面和物块组成，其加速度与整体受力如图6所示。由质点系牛顿第二定律得：

又因为斜面的速度 ，所以有：

考虑到整体受到的力的方向为水平方向，因而将牛顿第二定律的矢量表达式在水平和竖直方向投影得；
在水平方向：
在竖直方向：
分别以向向右和向下为正方向得：

即：
2、组成质点系的两个或两个以上质点，质点都有加速度
例3、如图所示，一根绳跨过装在天花板上的滑轮，一段接质量为M的物体，另一端吊一载人的梯子而平衡。若滑轮与绳子的质量均不计，绳绝对柔软，不可伸长，问为使滑轮对天花板的作用力为零，人相对于梯子应该按照什么规律运动？
分析与解：要注意到题目中滑轮对天花板的作用力为零，所以绳子的拉力必须为零，所以物体将作自由落体运动，因而左方的梯子应该以加速度g上升，该加速度是人的作用力和梯子的重力的合力提供的。
以地为参照物，以梯子和人为质点系，则整体受到的合外力应该为Mg
以向下为正方向，由质点系牛顿第二定律得：
为人相对于地面的加速度。
得：
由相对运动的知识可得：
以向下为正方向，
所以：
例4、如图所示，C为一放在固定的粗糙水平桌面上的双斜面，其质量 ，顶端有一定滑轮，滑轮的质量及轴处的摩擦皆可以不计，A、B是两个滑块，质量分别为3.0kg和0.5kg ,由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳相连，开始时，设法抓住A、B和C，使它们处于静止状态，且滑轮两边的轻绳恰好伸直，今用一大小等于26.5N的水平推力F作用于C，并同时释放A、B和C，若C沿着桌面向左滑动，其加速度大小 ,B相对于桌面无水平方向的位移（绳子一直是绷紧的），试求C与桌面间的摩擦因数。（ ， ）
分析与解：要抓住题中的一个关键条件：B相对于桌面没有水平方向的位移。这说明了以地为参照物，B在水平方向的加速度为零；抓住题目中的一个重要的牵连关系：以斜面为参照物，A、B两个物体的加速度应该相同。同时本题也要用到相对运动的知识。
假设斜面相对于地面的加速度为 ，以斜面为参照物，将A、B的加速度分解如图，由于B物体对地面的水平方向的加速度为零，
所以有：
又因为： ,
所以：
由几何关系不难得到以下关系：
， ，
以地面为参照物， 由相对运动的知识得：
，方向向右

对整体用质点系牛顿第二定律，在竖直方向有：
（以向下为正方向）
在水平方向有： （以F的方向为正方向）
以上联立解得：
质点系牛顿第二定律表达式是更完备的牛顿第二定律的表达形式，其中也包含了力的独立作用原理的重要思想，由于其在解决问题中的重要性，所以很多人把它叫做“牛顿第四定律”。

【定义】
牛顿运动定律是由牛顿（Sir Isaac Newton）总结于17世纪并发表于《自然哲学的数学原理》的牛顿第一运动定律（Newton's first law of motion）即惯性定律（law of inertia）、牛顿第二运动定律（Newton's second law of motion）和牛顿第三运动定律（Newton's third law of motion）三大经典力学基本定律的总称。
[编辑本段]【牛顿第一运动定律】
一切物体在任何情况下，在不受外力的作用时，总保持静止或匀速直线运动状态。
[编辑本段]〖内容〗
一切物体在任何情况下，在不受外力的作用时，总保持静止或匀速直线运动状态。
一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。这就是牛顿第一定律。
牛顿第一定律还可缩写成：动者恒动，静者恒静。
A particle will stay at rest or continue at a constant velocity， unless acted upon by an external unbalanced force。
[编辑本段]〖说明〗
物体都有维持静止和作匀速直线运动的趋势，因此物体的运动状态是由它的运动速度决定的，没有外力，它的运动状态是不会改变的。物体的保持原有运动状态不变的性质称为惯性(inertia)惯性的大小由质量量度。所以牛顿第一定律也称为惯性定律(law of inertia)。牛顿第一定律也阐明了力的概念。明确了力是物体间的相互作用，指出了是力改变了物体的运动状态。因为加速度是描写物体运动状态的变化，所以力是和加速度相联系的，而不是和速度相联系的。在日常生活中不注意这点，往往容易产生错觉。
〖注意〗
（1）牛顿第一定律并不是在所有的参照系里都成立，实际上它只在惯性参照系里才成立。因此常常把牛顿第一定律是否成立，作为一个参照系是否惯性参照系的判据。
（2）牛顿第一定律是通过分析事实，再进一步概括、推理得出的。我们周围的物体，都要受到这个力或那个力的作用，因此不可能用实验来直接验证这一定律。但是，从定律得出的一切推论，都经受住了实践的检验，因此，牛顿第一定律已成为大家公认的力学基本定律之一。
〖牛顿第一定律的发现及总结〗
300多年前，伽利略对类似的实验进行了分析，认识到：运动物体受到的阻力越小，他的运动速度减小得就越慢，他运动的时间就越长。他还进一步通过进一步推理得出，在理想情况下，如果水平表面绝对光滑，物体受到的阻力为零，它的速度讲不会减慢，这是将以恒定不变的速度永远运动下去。
伽利略曾经专研过这个问题，牛顿曾经说过：“我是站在巨人的肩膀上才成功的。”这句话就是针对伽利略的。所以牛顿概括了前人的研究结果，总结出了著名的牛顿第一定律。
[编辑本段]【牛顿第二运动定律】
物体的加速度跟物体所受的合外力F成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。
[编辑本段]〖内容〗
物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。
[编辑本段]〖表达式〗
∑F=ma或F合=ma
[编辑本段]〖说明〗
（1）牛顿第二定律是力的瞬时作用规律。力和加速度同时产生、同时变化、同时消逝。
（2）F=ma是一个矢量方程，应用时应规定正方向，凡与正方向相同的力或加速度均取正值，反之取负值，一般常取加速度的方向为正方向。
（3）根据力的独立作用原理，用牛顿第二定律处理物体在一个平面内运动的问题时，可将物体所受各力正交分解，在两个互相垂直的方向上分别应用牛顿第二定律的分量形式：Fx=max，Fy=may列方程。
[编辑本段]〖牛顿第二定律的五个性质〗
（1）同体性：F合、m、a对应于同一物体。
（2）矢量性：力和加速度都是矢量，物体加速度方向由物体所受合外力的方向决定。牛顿第二定律数学表达式∑F = ma中，等号不仅表示左右两边数值相等，也表示方向一致，即物体加速度方向与所受合外力方向相同。
（3）瞬时性：当物体（质量一定）所受外力发生突然变化时，作为由力决定的加速度的大小和方向也要同时发生突变；当合外力为零时，加速度同时为零，加速度与合外力保持一一对应关系。牛顿第二定律是一个瞬时对应的规律，表明了力的瞬间效应。
（4）相对性：自然界中存在着一种坐标系，在这种坐标系中，当物体不受力时将保持匀速直线运动或静止状态，这样的坐标系叫惯性参照系。地面和相对于地面静止或作匀速直线运动的物体可以看作是惯性参照系，牛顿定律只在惯性参照系中才成立。
（5）独立性：作用在物体上的各个力，都能各自独立产生一个加速度，各个力产生的加速度的失量和等于合外力产生的加速度。
[编辑本段]〖适用范围〗
（1）只适用于低速运动的物体（与光速比速度较低）。
（2）只适用于宏观物体，牛顿第二定律不适用于微观原子。
（3）参照系应为惯性系。
[编辑本段]【牛顿第三运动定律】
两个物体之间的作用力和反作用力，在同一条直线上，大小相等，方向相反。
说明：要改变一个物体的运动状态，必须有其它物体和它相互作用。物体之间的相互作用是通过力体现的。并且指出力的作用是相互的，有作用必有反作用力。它们是作用在同一条直线上，大小相等，方向相反。
[编辑本段]〖内容〗
两个物体之间的作用力和反作用力，在同一条直线上，大小相等，方向相反。
[编辑本段]〖表达式〗
F=-F'
（F表示作用力，F'表示反作用力，负号表示反作用力F'与作用力F的方向相反）
[编辑本段]〖说明〗
要改变一个物体的运动状态，必须有其它物体和它相互作用。物体之间的相互作用是通过力体现的。并且指出力的作用是相互的，有作用必有反作用力。它们是作用在同一条直线上，大小相等，方向相反。
〖牛顿第三定律 〗
内容：两个物体之间的作用力和反作用力，在同一条直线上，大小相等，方向相反。
说明：要改变一个物体的运动状态，必须有其它物体和它相互作用。物体之间的相互作用是通过力体现的。并且指出力的作用是相互的，有作用必有反作用力。它们是作用在同一条直线上，大小相等，方向相反。
另需要注意：
（1）作用力和反作用力是没有主次、先后之分。同时产生、同时消失。
（2）这一对力是作用在不同物体上，不可能抵消。
（3）作用力和反作用力必须是同一性质的力。
（4）与参照系无关。
牛顿第三定律：
两个物体间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，并且作用在同一直线上
F1＝－F2
①力的作用是相互的。同时出现，同时消失。
②相互作用力一定是相同性质的力
③作用力和反作用力作用在两个物体上，产生的作用不能相互抵消。
④作用力也可以叫做反作用力，只是选择的参照物不同
⑤作用力和反作用力因为作用点不在同一个物体上，所以不能求合力
2.相互作用力和平衡力的区别
①相互作用力是大小相等、方向相反、作用在两个物体上、且在同一直线上的力；两个力的性质是相同的。
②平衡力是作用在同一个物体上的两个力，大小相同、方向相反，并且作用在同一直线上。两上力的性质可以是不同的。
③相互平衡的两个力可以单独存在，但相互作用力同时存在，同时消失
例如：物体放在桌子上，对于物体所受重力与支持力，二者属于平衡力，将物体拿走后支持力消失，而重力依然存在．
而物体在桌子上，物体所受的支持力与桌面所受的压力，二者为一对作用力与反作用力．物体拿走后，二者都消失．
[编辑本段]〖适用范围〗
牛顿运动定律是建立在绝对时空以及与此相适应的超距作用基础上的所谓超距作用，是指分离的物体间不需要任何介质，也不需要时间来传递它们之间的相互作用。也就是说相互作用以无穷大的速度传递。
除了上述基本观点以外，在牛顿的时代，人们了解的相互作用。如万有引力、磁石之间的磁力以及相互接触物体之间的作用力，都是沿着相互作用的物体的连线方向，而且相互作用的物体的运动速度都在常速范围内。
在这种情况下，牛顿从实验中发现了第三定律。“每一个作用总是有一个相等的反作用和它相对抗；或者说，两物体彼此之间的相互作用永远相等，并且各自指向其对方。”作用力和反作用力等大、反向、共线，彼此作用于对方，并且同时产生，性质相同，这些常常是我们讲授这个定律要强调的内容。而且，在一定范围内，牛顿第三定律与物体系的动量守恒是密切相联系的。
但是随着人们对物体间的相互作用的认识的发展，19世纪发现了电与磁之间的联系，建立了电场、磁场的概念；除了静止电荷之间有沿着连线方向相互作用的库仑力外，发现运动电荷还要受到磁场力即洛伦兹力的作用；运动电荷又将激发磁场，因此两个运动电荷之间存在相互作用。在对电磁现象研究的基础上，麦克斯韦（1831－1879）在1855～1873年间完成了对电磁现象及其规律的大综合、建立了系统的电磁理论，发现电磁作用是通过电磁场以有限的速度（光速c）来传递的，后来为电磁波的发现所证实。
物理学的深入发展，暴露出牛顿第三定律并不是对一切相互作用都是适用的。如果说静止电荷之间的库仑相互作用是沿着二电荷的连线方向，静电作用可当作以“无穷大速度”传递的超距作用，因而牛顿第三定律仍适用的话，那么，对于运动电荷之间的相互作用，牛顿第三定律就不适用了。如图所示，运动电荷B通过激发的磁场作用于运动电荷A的力为 （并不沿AB的连线），而运动电荷A的磁场在此刻对B电荷却无作用力（图中未表示它们之间的库仑力）。由此可见，作用力在此刻不存在反作用力，作用与反作用定律在这里失效了。
实验证明：对于以电磁场为媒介传递的近距作用，总存在着时间的推迟。对于存在推迟效应的相互作用，牛顿第三定律显然是不适用的。实际上，只有对于沿着二物连线方向的作用（称为有心力），并可以不计这种作用传递时间（即可看做直接的超距作用）的场合中，牛顿第三定律才有效。
但是在牛顿力学体系中，与第三定律密切相关的动量守恒定律，却是一个普遍的自然规律。在有电磁相互作用参与的情况下，动量的概念应从实物的动量扩大到包含场的动量；从实物粒子的机械动量守恒扩大为全部粒子和场的总动量守恒，从而使动量守恒定律成为普适的守恒定律。
[编辑本段][牛顿运动定律创立的伟大意义]
牛顿的三大运动定律构成了物理学和工程学的基础。正如欧几里德的基本定理为现代几何学奠定了基础一样，牛顿三大运动定律为物理科学的建立提供了基本定理。三大定律的推出、地球引力的发现和微积分的创立使得牛顿成为过去过去一千年中最杰出的科学巨人。
[编辑本段]【牛顿运动定律的创立过程】
约翰尼斯·开普勒在1609年发现行星沿椭圆形（而不是圆形）轨道围绕太阳运行。此后，科学家们便纷纷狂热地试图用数学方法解释这些轨道。罗伯特·胡克和约翰·哈雷都曾做过尝试，但他们两个人用的数学方法都没能奏效。
1642年艾萨克·牛顿出生于英国距离剑桥60英里的林肯郡。艾萨克是个难对付的孩子。在他出生前三个月父亲就去世了，他不喜欢继父，于是被送给外祖父母由他们抚养长大。然而牛顿不喜欢任何人——他不喜欢母亲，也不喜欢外祖父母，甚至连同母异父的弟弟和妹妹也不喜欢。他经常威胁说要打这些亲人，要把房子烧掉。在学校里，他经常违反纪律，让老师头疼。
只有一个人——威廉·艾斯库注意到牛顿的聪慧和潜能，他安排牛顿去三一学院（隶属于剑桥大学）学习。因为太穷支付不起昂贵的学费，牛顿就给其他学生当佣人来挣钱支付食宿的费用。他总是独来独往，神神秘秘，别人都说他经常板着面孔，喜欢与人争论。
1665年伦敦瘟疫爆发，剑桥大学被迫关闭，于是牛顿回到妹妹在乡下的庄园。庄园很闭塞，同时又缺少必要的数学工具描述不断变化的力量和运动——而这些又是他感兴趣的，因此他觉得十分沮丧。他决心弄清楚使物体运动（或静止）的力量。
除了阅读当时比较新的开普勒和哈雷的专著之外，牛顿还研读了伽利略和亚里士多德的著作。他搜集了早期希腊学者以来的研究结果和理论，这些理论都很零散，而且经常相互矛盾。他仔细筛选这些材料并把它们重新提炼，找出其中的普遍真理和谬误。牛顿非常善于从大量观点中筛选出包含真理的少数，他的这一才能让人称奇。
牛顿算不上是实验者，他喜欢思考问题，像爱因斯坦那样在脑海里做实验。他会长时间专注地想事情，直到得出他需要的答案。用他自己的话说，他会“把问题摆在面前，然后开始等待，一直等到出现第一缕曙光，接着渐渐变得清晰，最后豁然开朗”。
不久，一个问题开始困扰着牛顿：是什么力量导致了运动呢？他集中精力研究伽利略的自由落体定律和开普勒的行星运动规律。他痴迷到了废寝忘食的地步，身体几乎处于崩溃的边缘。
1666年初，牛顿创立了三大运动定律，这些定律为他发明微积分和发现地球引力创造了必不可少的条件。但直到20年后哈雷鼓励牛顿写《自然哲学的数学原理》时，牛顿才公布了他创立的三大定律。
1684年，让·皮卡尔第一次精确地求出了地球的大小和质量。有了这些必要的数字，牛顿就能证明：利用三大运动定律和他的重力方程式可以正确地计算出行星运动的真实轨道。即使有了确凿的数学证据，牛顿也只是在哈雷的请求和说服下于1687年发表了《自然哲学和数学原理》，发表这本书最主要的原因是罗伯特·胡克声称（错误地声称），他自己已经发现了运动的普遍规律。《自然哲学和数学原理》成为科学史上备受推崇和人们经常使用的出版物。

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