求全国初中数学联赛决赛2005至2009年试题

2005
2005年全国初中数学联赛决赛试卷
一、选择题：(每题7分，共42分)
1、化简： 的结果是＿＿。
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。
A、78.5 B、97.5 C、90 D、102
3、设r≥4，a＝ ，b＝ ，
c＝ ，则下列各式一定成立的是＿＿。
A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。
A、 B、 C、 D、
5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， y
记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则＿＿。
A、p>q B、p＝q C、p 0 1 x
6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则 的未位数字是＿＿。
A、1 B、3 C、5 D、7
二、填空题(共28分)
1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。
2、 x＝＿＿＿。
3、若实数x、y满足 则x＋y＝＿＿。
4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。
三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)
1、a、b、c为实数，ac＜0，且 ，证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根。

2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。

3、a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。

2005年全国联赛决赛试卷详解
一、选择题：(每题7分，共42分)
1、化简： 的结果是＿＿。
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数
解：

所以选D
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。
A、78.5 B、97.5 C、90 D、102
解：由题意得：
52＋142－2×5×14×cosα＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α)
∴221－140cosα＝221＋220 cosα
∴cosα＝0
∴α＝90°
∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90
∴选C
3、设r≥4，a＝ ，b＝ ，c＝ ，则下列各式一定成立的是＿＿。
A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a
解法1：用特值法，取r=4，则有
a= ，b＝ ，
c＝
∴c>b>a，选D
解法2：a＝ ，
b＝
c＝

解法3：∵r≥4 ∴ ＜1
∴
c＝
∴a4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。
A、 B、 C、 D、
解：由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积
∴
由垂径定理得公共弦为
∴选D

5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，
记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则＿＿。
A、p>q B、p＝q C、p解：由题意得：a<0，b>0，c=0
∴p＝|a－b|＋|2a＋b|，q＝|a＋b|＋|2a－b|
又
∴p＝|a－b|＋|2a＋b|＝b-a+2a+b=a+2b=2b+a，
q＝|a＋b|＋|2a－b|= a＋b＋b-2a=2b-a
∴p6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则 的未位数字是＿＿。
A、1 B、3 C、5 D、7
解：因为x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)为互不相等的偶数
而将242分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：242＝2•(-2)•4•6•(-6)
所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)
所以(2005－x1)2＋(2005－x2)2＋(2005－x3) 2＋(2005－x4) 2＋(2005－x5) 2＝22＋(-2) 2＋42＋62＋(-6) 2＝96
展开得：

二、填空题(共28分)
1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。
解：(3×1＋3×2＋……3×33)＋(5×1＋5×2＋……5×20)－(15×1＋15×2＋……15×6)＝1683＋1050－315＝2418
2、 x＝＿＿＿。
解：分子有理化得：
∵x≠0，
∴
两边平方化简得：
再平方化简得：
3、若实数x、y满足 则x＋y＝＿＿。
解法1：假设x＋y＝a，则y＝a－x

解法2：易知
化简得：

4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。
解：

三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)
1、a、b、c为实数，ac＜0，且 ，证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根。
解：设

∴
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根.
2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，DE 与BC的延长线于交于T，过D作BC的垂线交BE于F，过E作BC的垂线交CD于G，证明：F、G、T三点共线。
证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC 与Rt△BDC中，由射影定理得：
CE2＝CN•CB，BD2＝BM•BC
∴
又Rt△CNG ∽Rt△DCB，Rt△BMF ∽Rt△BEC，
∴
∴
在Rt△BEC 与Rt△BDC中，由面积关系得：BE•CE＝EN•BC，BD•CD＝DM•BC
∴
由(1)(2)得：
证法2：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R
∵DM‖AR‖EN
∴

由合比定理得：
证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：

设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，AH⊥BC
∵DF⊥BC、EG⊥BC
∴AH ‖DF ‖EG
∴
由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线.

证法4：连结FT交EN于G’，易知
为了证明F、G、T三点共线，只需证明 即可
∵

又
∴
∵CD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四点共圆
∴∠ABE＝∠ACD (2)
又 (3)
将(2) (3)代入（1）得： ，故F、G、T三点共线.
3、设a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。
解：显然c＞1.由题设得：(c2-a)(c2+a)=b3
若取
由大到小考察b，使 为完全平方数，易知当b＝8时，c2＝36，则c=6，从而a=28。下面说明c没有比6更小的正整数解，列表如下：
c c4 x3(x32 16 1,8 17,8
3 81 1,8,27,64 80,73,54,17
4 256 1,8,27,64,125,216 255,248,229,192,131,40
5 625 1,8,27,64,125,216,343,512 624,617,598,561,500,409,282,113
显然，表中c4-x3的值均不是完全平方数。故c的最小
2006
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1 已知四边形ABCD为任意凸四边形，EFGH分别是AB,BC,CD,DA中点，用S,P分别表示四边形ABCD的面积和周长，S1,P1分别表示四边形EFGH的面积和周长，设K=S/S1，K1=P/P1。则下面关于K,K1的说法正确的是：
A K,K1均为常值 B K为常值，K1不为常值 CK1为常值，K不为常值 D K,K1均不为常值

2 已知m为实数，且sinα，cosα是关于x的方程3x^2-mx+1=0的两根，则sin4α+cos4α的值为：（sinα的4次方）
A 2/9 B 1/3 C 7/9 D 1

3 关于x的方程|x2/(x-1)|=a仅有2不等实根，则实数a的范围是：
A a>0 B a>=4 C 2
4 设b>0，a2-2ab+c2=0,bc>a^2,则实数a,b,c的大小关系是：
A b>c>a B c>a>b C a>b>c D b>a>c

5设a，b为有理数且满足等式： 下载 (2.84 KB)

2008-8-15 14:43,则a+b的值为：
A 2 B 4 C 6 D 8

6 将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数:20,40,60,80,100,104......则这列数的第158个数为：
A 2000 B 2004 C 2008 D 2012

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1 函数y=x2-2006|x|+2008的图像与x轴交点的横坐标之和等于_______
2 在等腰直角ΔABC中，AC=BC=1,M是BC中点，CE垂直AM于E，交AB于F，则SΔMBF=_______
3 使 下载 (2.25 KB)

2008-8-15 14:43取最小值的实数x的值为______
4 在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为：O(0,0),A(100,0)B(100,100)C(0,100)。若正方形OABC内部（边界及顶点除外）一格点P满足SΔPOA*SΔPBC=SΔPAB*SΔPOC就称格点P为好点，则正方形内部好点个数为____
(格点即横纵坐标皆为整数的点）

三、解答题（本题共3小题，1题20分，2，3题各25分）
1 （本题满分20分）
如图1，D为等腰三角形ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点，又已知角EDF=90°，ED=FD=1,AD=5，求BC长。
下载 (5.1 KB)

2008-8-15 13:41
2 （本题满分25分）
在平行四边形ABCD中，角A 的平分线分别与BC及DC的延长线交于E、F,点O,O1分别为三角形CEF和ABE的外心。
求证：(1)O,E,O1三点共线；
（2）若角ABC=70°，求角OBD度数。
下载 (6.43 KB)

2008-8-15 14:03
3 （本题满分25分）
设p为正整数，且p>=2.在平面直角坐标系中，连结点A（0，p），和B（p,0）的线段通过p-1个格点:C1(1,P-1)C2(2,P-2).......Ci(i，p-i），.....Cp-1（p-1,1)
证明：（1）如果p为素数，则在原点O（0，0）和点Ci（i，p-i）的连线段OCi上除端点外无其他格点。
（2）若在原点O（0，0）与点Ci（i，p-i）的连线段上无端点外的格点，则p为素数。

[ 本帖最后由 流水无惭 于 2008-8-15 14:45 编辑 ]

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帖子1171 精华3 积分13767 威望854 点 数联积分7935 分 数联币1592 个 最后登录2009-8-5 2楼 发表于 2008-8-15 13:56 | 只看该作者 如果您觉得数联天地不错，请帮忙宣传一下
2006年全国初中数学联赛决赛试题答案（部分步骤省略）
一、1.B 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C
二、
1、0 2、1/12 3、 8/3 4、197
三、
1解：过E作EG垂直AD于G，过F作FH垂直AD于H
则角EDG=角DFH所以三角形EDG和DFH全等，设EG=x，DG=y则DH=x，FH=y且x^2+y^2=1
因为三角形AEG和三角形AFH相似，所以x/y=(5-y）/（5+x)
联立以上二式有y-x=1/5
又（x+y）^2+x-y)^2=2(x^2+y^2)知x+y=7/5
解得x=3/5,y=4/5
又有三角形AEG和三角形ACD相似，所以CD/AD=EG/AG，即CD=AD*EG/AG=5/7
所以BC=2CD=10/7

2 解：（1）连结OE,OF，O1A,O1E，
显然有OE=OF,O1A=O1E,角EOF=2倍角ABE=角AO1E
从而三角形OEF和三角形AO1E相似，角AEO1=角FEO，则O3O1共线.
（2）连结DO,CO
角CEF=角DAE=角BAF=角CFE，所以CE=CF又OE=OF=OC，所以三角形OCE全等于三角形OCF，所以角OEC=角OFC=角OCF，所以角OEB=角OCD，从而三角形OCD全等于三角形OEB，所以角ODC=角OBE，OD=OB，所以角ODC=角OBC，角OBD=角ODB，所以角OBD=角OBC+角CBD=角ODC+角BDA=角ADC-角BDO=角ABC-角OBD
所以角OBD=角ABC/2，所以角OBD=35°

3 解：（1）用P(a,b)表示三角形OAB内的格点，a,b为正整数，假设结论不成立，则P位于某线段OCi内部，过P作PE垂直
OB于E，过Ci作CiF垂直OB于F，三角形POE和三角形CiOF相似，则b/a=（p-i)/i
其中1<=i<=p-1，易知1<=a故i<=a与a（2）同理分析，假设结论不成立则p为合数，设p=ay，x，y属于N+，且2<=x,y<=p-1，因为三角形OAB内的格点横纵坐标之和可以是2到p-1间任何整数，所以一定有一格点P（a,b)满足a+b=x，于是（a+b)y=xy=p即ay+by=p因此点(ay,by)必定是Ci中的一个，于是有ya=i,by=p-i，故b/a=（p-i)/i，所以点P（a,b）在线段OCi内部，即在线段OCi上还有其他格点，与已知矛盾，所以原结论成立.

转自数联天地,本贴地址:http://www.math15.com/bbs/thread-1981-1-1.html
2007的实在找不到
2008，2009的鄙人实在是无能为力，呵呵！