意思一样。
语法都对。
I guess we have to stay home this Sunday.
我想这个星期天我们得呆在家里。
I would rather stay at home.
我宁愿待在家里。
都对，意思略有区别：
stay home，笼统指家，意思是在家周围包括家，不会离家太远，法律上可以这样理解
stay at home，确定一点的意思，绝大部分时间只在家里呆着，很少出门
home 本身就有at home的意思
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