矩阵中，AB=0为什么能推出r(A)+r(B)<=n？

证明：

如果AB=0，那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解。

设r（A）=r，那么方程组AX=0最多有n-r个线性无关的解，

所以：r（B）<=n-r=n-r(A)。

因此，r（A）+r（B）<=n。

扩展资料：

矩阵运算在科学计算中非常重要 ，而矩阵的基本运算包括矩阵的转置，共轭和共轭转置等。

①转置：

把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵  ，这一过程称为矩阵的转置

矩阵的转置满足以下运算律：

②共轭：

矩阵的共轭定义为:  。一个2×2复数矩阵的共轭如下所示 ：

则

③共轭转置：

矩阵的共轭转置定义为： ，也可以写为：

 。一个2×2复数矩阵的共轭如下所示：

则

参考资料：百度百科-矩阵（数学术语）

证明：

如果AB=0，那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解。

设r（A）=r，那么方程组AX=0最多有n-r个线性无关的解，

所以：r（B）<=n-r=n-r(A)。

因此，r（A）+r（B）<=n。

线性无关一般是指向量的线性独立，指一组向量中任意一个向量都不能由其它几个向量线性表示。

扩展资料

矩阵方程的角度：

记AB=C,则对于矩阵方程AX=C,

存在解X=B

所以由线性方程组的性质知必有

R(A)=R(增广矩阵)=R(A,C),

显然有R(A,C)≥R(C)

所以得R(A)≥R(C)

所以R(AB)≤R(A)

参考资料来源：百度百科-矩阵

证明：
如果AB=0，那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解
设r（A）=r，那么方程组AX=0最多有n-r个线性无关的解
所以
r（B）<=n-r=n-r(A).
因此
r（A）+r（B）<=n

简单计算一下，答案如图所示

证：
如果AB=0，那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解。
设r（A）=r，那么方程组AX=0的解空间最多有n-r个线性无关的解向量（也可以说解空间W维数为 n-r），B的每一列都是AX=0的解，
所以：r（B）<=dim（W）=n-r=n-r(A)。
即，r（A）+r（B）<=n。