求方程y✀✀=x⼀y✀满足初始条件y(1)=-1,y✀(1)=1的特解

p=y',p'(x+p)=p
(dp/dx)(x+p)=p
1.p≠0时
(dx/dp)=x/p+p
令z=x/p,x=zp,x'=z+z'p
z+z'p=z+p
z'p=p
x/p=p+c,因为x=1时,p=1所以c=0
x/y'=y'
y'=±√x,y=±(2/3)x^(3/2)+c
代入初值y=(2/3)x^(3/2)+1/3或y=-(2/3)x^(3/2)+5/3
2.当p=0时，无法满足y'(1)=1的条件
故结果为：
y=(2/3)x^(3/2)+1/3或y=-(2/3)x^(3/2)+5/3

求微分方程y''=x/y'满足初始条件y(1)=-1,y'(1)=1的特解
解：令y'=dy/dx=p，则y''=dy'/dx=dp/dx
代入原式得
dp/dx=x/p
分离变量得
pdp=xdx
积分之得(1/2)p²=(1/2)x²+(1/2)c₁
即p²=x²+c₁，已知x=1时y'=p=1，故c₁=0;
于是得p=±x，即dy/dx=±x;
dy=±xdx
故y=±(1/2)x²+c₂
代入初始条件y(1)=-1,故c₂=-1/2或-3/2.
于是原方程的特解为y=(1/2)x²-3/2，或y=-(1/2)x²-1/2.