用MATLAB优化工具箱解线性规划
命令：x=linprog（c，A，b）
命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）
注意：若没有不等式： 存在，则令A=[ ]，b=[ ]. 若没有等式约束, 则令Aeq=[ ], beq=[ ].
命令：[1] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB）
[2] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0）
注意：[1] 若没有等式约束, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X0表示初始点
4、命令：[x,fval]=linprog(…)
返回最优解x及x处的目标函数值fval.
例1
解 编写M文件小xxgh1.m如下：
c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6];
A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08];
b=[850;700;100;900];
Aeq=[]; beq=[];
vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[];
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
例2 解: 编写M文件xxgh2.m如下：
c=[6 3 4];
A=[0 1 0];
b=[50];
Aeq=[1 1 1];
beq=[120];
vlb=[30,0,20];
vub=[];
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub
例3 （任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。
假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、
600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工
费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使
加工费用最低
解 设粗塌在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上
加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型：
编写M文件xxgh3.m如下:
f = [13 9 10 11 12 8];
A = [0.4 1.1 1 0 0 0
0 0 0 0.5 1.2 1.3];
b = [800; 900];
Aeq=[1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1];
beq=[400 600 500];
vlb = zeros(6,1);
vub=[];
[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
例4．某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为册者：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时岩姿圆工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？
解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人,
编写M文件xxgh4.m如下：
c = [40;36];
A=[-5 -3];
b=[-45];
Aeq=[];
beq=[];
vlb = zeros(2,1);
vub=[9;15];
%调用linprog函数：
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
结果为：
x =
9.0000
0.0000
fval =360
即只需聘用9个一级检验员。
4．控制参数options的设置
Options中常用的几个参数的名称、含义、取值如下:
(1) Display: 显示水平.取值为’off’时,不显示输出; 取值为’iter’时,显示每次迭代的信息;取值为’final’时,显示最终结果.默认值为’final’.
(2) MaxFunEvals: 允许进行函数评价的最大次数,取值为正整数.
(3) MaxIter: 允许进行迭代的最大次数,取值为正整数
控制参数options可以通过函数optimset创建或修改。命令的格式如下：
(1) options=optimset(‘optimfun’)
创建一个含有所有参数名,并与优化函数optimfun相关的默认值的选项结构options.
（2）options=optimset(‘param1’,value1,’param2’,value2,...)
创建一个名称为options的优化选项参数,其中指定的参数具有指定值,所有未指定的参数取默认值.
(3)options=optimset(oldops,‘param1’,value1,’param2’,
value2,...)
创建名称为oldops的参数的拷贝,用指定的参数值修改oldops中相应的参数.
例：opts=optimset(‘Display’,’iter’,’TolFun’,1e-8)
该语句创建一个称为opts的优化选项结构,其中显示参数设为’iter’, TolFun参数设为1e-8.
用Matlab解无约束优化问题
一元函数无约束优化问题
常用格式如下：
（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)
（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)
（3）[x，fval]= fminbnd（...）
（4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（...）
（5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（...）
其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。
函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。
例1 求 在0
f='2*exp(-x).*sin(x)';
fplot(f,[0,8]); %作图语句
[xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8)
f1='-2*exp(-x).*sin(x)';
[xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)
运行结果：
xmin = 3.9270 ymin = -0.0279
xmax = 0.7854 ymax = 0.6448
例2 对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
先编写M文件fun0.m如下:
function f=fun0(x)
f=-(3-2*x).^2*x;
主程序为wliti2.m:
[x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);
xmax=x
fmax=-fval
运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.
2、多元函数无约束优化问题
标准型为：min F(X)
命令格式为:
（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ）
（2）x= fminunc（fun,X0 ，options）；
或x=fminsearch（fun,X0 ，options）
（3）[x，fval]= fminunc（...）；
或[x，fval]= fminsearch（...）
（4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch
（5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）
说明:
• fminsearch是用单纯形法寻优. fminunc的算法见以下几点说明：
[1] fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中的参数LargeScale控制：
LargeScale=’on’(默认值),使用大型算法
LargeScale=’off’(默认值),使用中型算法
[2] fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由
options中的参数HessUpdate控制：
HessUpdate=’bfgs’（默认值），拟牛顿法的BFGS公式；
HessUpdate=’dfp’，拟牛顿法的DFP公式；
HessUpdate=’steepdesc’，最速下降法
[3] fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，
由options中参数LineSearchType控制：
LineSearchType=’quadcubic’(缺省值)，混合的二次和三
次多项式插值；
LineSearchType=’cubicpoly’，三次多项式插
• 使用fminunc和 fminsearch可能会得到局部最优解.
例3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1)
1、编写M-文件 fun1.m:
function f = fun1 (x)
f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
2、输入M文件wliti3.m如下:
x0 = [-1, 1];
x=fminunc(‘fun1’,x0);
y=fun1(x)
3、运行结果:
x= 0.5000 -1.0000
y = 1.3029e-10
例4 Rosenbrock 函数 f（x1，x2）=100（x2-x12）2+(1-x1)2
的最优解（极小）为x*=（1，1），极小值为f*=0.试用
不同算法（搜索方向和步长搜索）求数值最优解.
初值选为x0=（-1.2 , 2）.
1. 为获得直观认识，先画出Rosenbrock 函数的三维图形,
输入以下命令：
[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-1:0.1:3);
z=100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2;
mesh(x,y,z)
2. 画出Rosenbrock 函数的等高线图,输入命令：
contour(x,y,z,20)
hold on
plot(-1.2,2,' o ');
text(-1.2,2,'start point')
plot(1,1,'o')
text(1,1,'solution')
3.用fminsearch函数求解
输入命令:
f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2';
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f, [-1.2 2])
运行结果:
x =1.0000 1.0000
fval =1.9151e-010
exitflag = 1
output =
iterations: 108
funcCount: 202
algorithm: 'Nelder-Mead simplex direct search'
4. 用fminunc 函数
(1)建立M-文件fun2.m
function f=fun2(x)
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2
(2)主程序wliti44.m
Rosenbrock函数不同算法的计算结果
可以看出，最速下降法的结果最差.因为最速下降法特别不适合于从一狭长通道到达最优解的情况.
例5 产销量的最佳安排
某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量，使总利润最大. 所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量.
符号说明
z(x1,x2)表示总利润；
p1，q1，x1分别表示甲的价格、成本、销量；
p2，q2，x2分别表示乙的价格、成本、销量；
aij，bi，λi,ci（i，j =1，2）是待定系数.
基本假设
1．价格与销量成线性关系
利润既取决于销量和价格，也依赖于产量和成本。按照市场规律，
甲的价格p1会随其销量x1的增长而降低，同时乙的销量x2的增长也
会使甲的价格有稍微的下降，可以简单地假设价格与销量成线性关系，
即： p1 = b1 - a11 x1 - a12 x2 ，b1，a11，a12 > 0，且a11 > a12；
同理， p2 = b2 - a21 x1- a22 x2 ，b2，a21，a22 > 0
2．成本与产量成负指数关系
甲的成本随其产量的增长而降低,且有一个渐进值,可以假设为
负指数关系,
总利润为： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2
若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,
a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20, r2=100,λ2=0.02,c2=30,则
问题转化为无约束优化问题：求甲,乙两个牌号的产量x1，x2，使总利润z最大.
为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求:
z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2
的极值. 显然其解为x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,
我们把它作为原问题的初始值.
模型求解
1.建立M-文件fun.m:
function f = fun(x)
y1=((100-x(1)- 0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1);
y2=((280-0.2*x(1)- 2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2);
f=-y1-y2;
2.输入命令:
x0=[50,70];
x=fminunc(‘fun’,x0),
z=fun(x)
3.计算结果:
x=23.9025, 62.4977, z=6.4135e+003
即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5.
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