若干地下水流数学模型的解析解

对于地下水稳定流动，数学模型由偏微分方程和边界条件组成；而对于非稳定流动，除了偏微分方程和边界条件外，还需要有初始条件。在一般情况下，数学模型不存在解析解，也就是说我们无法获得水头关于流量、参数、空间和时间的表达公式。在这种情况下，我们只能用数值法，如有限单元法，有限差分法和边界元等方法去求某些事先给定的离散点上的解。然而对于一些方程形式简单、区域形状规则和定解条件单纯的数学模型，解析解还是存在的。总的来说，用解析解求参比较简单，不需要过多的数学知识；但是由于在推导解析解时对问题本身作了大量简化和假设，在实际中很难找到这些理想化条件，因而这在很大程度上限制了解析法在含水层参数识别中的应用。此外有些解析表达式也十分复杂，一般用手计算解决不了问题，而必须借助于计算机进行计算。例如Chan等人^［39］利用积分变换导出的矩形含水层中降深的解析解。在推导这一问题的解析解时，Chan等人所作的主要假设是：

1）含水层为矩形承压含水层，并且是均质各向同性的；

2）含水层中仅有一口抽水井；

3）抽水井为承压完整井，且为定流量抽水；

4）地下水的流动服从达西定律。

根据边界条件的不同，可分为六种情形（见图2-1）

对于第一种情形，边界条件为 x=0时，s=0；x=a 时，s=h；y=0，b 时=0；初始条

图2-1 边界条件不同的六种含水层

件为 s=_（s 为降深值）；解析表达式为（S 为贮水系数）

含水层参数识别方法

稳态解s₁（x，y，∞）为

含水层参数识别方法

如果初始水头面为水平，则可令 h=0对于第二种情形，解析表达式为

含水层参数识别方法

稳态解s₂（x，y，∞）为

含水层参数识别方法

对于第三种情形，解析表达式

含水层参数识别方法

伪稳态解是

含水层参数识别方法

对于第四种情形，解析表达式为

含水层参数识别方法

含水层参数识别方法

含水层参数识别方法

对于第五种情形，解析表达式为

含水层参数识别方法

稳态解s₅（x，y，∞）为

含水层参数识别方法

对于第六种情形，解析表达式为

含水层参数识别方法

稳态解s₆（x，y，∞）为

含水层参数识别方法

在公式（2-1）至式（2-12）中：s为降深；S为贮水系数；Q为抽水量；T为导水系数；t为时间；x，y为笛卡儿坐标；ζ，η为抽水井坐标；Q为抽水量；h为在x=0，a处测压水头差；s_r（x，y，t）为在图2-1中的第r种情形下（r=1，2，3，4，5，6）t时刻的降深；s_r（x，y，∞）为第r种情形下的稳态降深（r≠3）；s₃（x，y）为第三种情形下的伪稳态降深；a，b 为含水层尺寸；m，n 为整数；αm=；_βn =；=

含水层参数识别方法

表2-1列出的是若干常见的地下水流数学模型及其解析表达式^［40］。

表2-1 若干常见的地下水流数学模型及其解析表达式

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