求数学高手解答一道集合难题！！

2025-02-26 14:03:45

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回答1：

(1)
按你老师的思路：
1，分成1004对，1+2008=2009,2+2007=2009,....,1004+1005=2009，每对的和等于2009。第一个数<=1004，第二个数>1004。
2、由于选取1007个数，分别设这m1,m2,m3,...m1007,都用2009减去这些数得：2009-m1,2009-m2,....
2009-m1007，这样总共有2014个数，均在1-2008中，当然有（2014-2008)/2=3组数是重复的，不妨设为：(l1,2009-l1)、(l2,2009-l2)、(l3,2009-l3)；l1,l2,l3<1004。
3、同样1-2007（不包1004）可分成1003对，1+2007=2008,2+2006=2008,....,1003+1005=2008，每对的和等于2008。第一个数<=1003，第二个数>1004。这1003对当然包括第一个数为l1，l2，l3的对，去掉这三对，还有1000对。
4、2008个数中去掉选取的1007个数，还有1001个数，分别设这1001个数为：n1.n2,....n1001，用2008减去它们得：2008-n1,2008-n2,....,2008-n1001，共有2002个数，均在1-2007中且不含1004,和l1,l2,l3和l1,l2,l3对应的数共7个，就只有1999个数，当然有一对数组是重复的，设为t1,2008-t1,且与l1,l2,l3不相同。
5、第二步和第四步，选出的l1，2009-l1,t1,2008-t1四数和也为4017。当然l2，2009-l2,t1,2008-t1四数和为4017。l3，2009-l3,t1,2008-t1四数和也为4017。故原命题得证。

回答2：

x³-7x²+14x-8=0
x³-4x²-3x²+12x+2x-8=0
x²(x-4)-3x(x-4)+2(x-4)=0
(x-4)(x²-3x+2)=0
(x-1)(x-2)(x-4)=0
解得x=1,2,4
∴A={1,2,4}
x³+2x²-c²x-2c²=0
(c>0)
x²(x+2)-c²(x+2)=0
(x+2)(x+c)(x-c)=0
∴x=-2,x=-c,x=c
方程x*x+px+q=0的两个根是a,b
∴p=-(a+b),q=ab
f(x)=x²+px+q=(x+p/2)²+q-p²/4
∴设g(a,b)=f(x)min=q-p²/4
=ab-(a+b)²/4
=-(a-b)²/4
a-b最大时，g(a,b)取得最小值
a-b最小时，g(a,b)取得最大值
1)0
<
c
<
1/3
集合A∪B={,-2,
-c,
c,
1,
2,
4}
a-b最大为6，g(a,b)取得最小值为-9
a-b最小为2c，g(a,b)取得最大值-c²
2)
1/3
≤
c
<
3/2
集合A∪B={
-2,
-c,
c,
1,
2,
4}
a-b最大为6，g(a,b)取得最小值为-9
a-b最小为|1-c|，g(a,b)取得最大值-(c-1)²/4
3）3/2≤c≤2时
a-b最大为6，g(a,b)取得最小值为-9
a-b最小为c-2，g(a,b)取得最大值-(c-2)²/4
4）2
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回答3：

看了各位高手的回答，有点不同看法，写出来，与各位商榷
A={x|x^3-7x^2+14x-8=0},B={x^3+2x^2-c^2x-2c^2=0,c＞0}以集合A∪B的任意元素a，b（其中a≥b）作为二次方程x^2+px+q=0的两个根，试在f(x)=x^2+px+q的最小值中，求出最大的和最小的
解析：∵A={x|x^3-7x^2+14x-8=0}
x³-7x²+14x-8=0==>(x-1)(x-2)(x-4)=0
∴x1=1,x2=2,x3=4==>A={1,2,4}
∵B={x^3+2x^2-c^2x-2c^2=0,c＞0}
x³+2x²-c²x-2c²=0==>(x+2)(x+c)(x-c)=0
∴x1=-2,x2=-c,x3=c==>B={-2,-c,c}
∴集合A∪B={-2,
-c,
c,
1,
2,
4}
∵方程x^2+px+q=0的两个根是a,b
∴p=-(a+b),q=abf(x)=x²+px+q=(x+p/2)²+q-p²/4
∴设g(a,b)=f(x)min=q-p²/4=ab-(a+b)²/4=-(a-b)²/4
a-b最大时，g(a,b)取得最小值
a-b最小时，g(a,b)取得最大值
∵a≥b，c>0
∴当a>b时，a，b为A∪B中不同元素，当a=b时，a，b为A∪B中同一元素
∴a-b>=0的集合为{0,1,2,3,4,6,|1-c|,1+c,|2-c|,2+c,|4-c|,4+c,2c}
当0
4时
a-b最大为2C，g(a,b)取得最小值为-c^2
a-b最小为0，g(a,b)取得最大值0

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