求下列微分方程满足初始条件的特解y✀✀+4y✀＝sin2x,当x＝0时y＝1⼀4，y✀＝0

解：∵微分方程为y"+4y'=sin2x
∴设y'=u，有u'+4u=sin2x，
u'e^4x+4ue^4x=sin2x·e^4x，
(ue^4x)'=sin2x·e^4x，
ue^4x=0.2sin2x·e^4x-
0.1cos2x·e^4x+a(a为任意常数)
∵y'(0)=0 ∴有a=0.1
∴y'=0.2sin2x-0.1cos2x+0.1e^(-4x)
y=-0.1cos2x-0.05sin2x-
0.025e^(-4x)+c(c为任意常数)
∵y(0)=0.25 ∴有0.25=-0.1-0.025+c
c=0.375
∴方程的通解为y=-0.1cos2x-0.05
sin2x-0.025e^(-4x)+0.375

哈哈，楼上待定系数法，不过我喜欢微分算子法，简单快捷，适合2次以上微分方程。

齐次方程的特征方程为r²＋4r=0，特征根为r1=0，r2=－4
所以齐次方程通解为y=C1e^(－4x)＋C2
原方程特解可设为y=asin2x＋bcos2x
y'=2acos2x－2bsin2x
y''=－4asin2x－4bcos2x
代入原方程得(－4a－8b)sin2x＋(8a－4b)cos2x=sin2x
8a－4b=0
－4a－8b=1
则a=－1/20，b=－1/10
所以特解为y=－1/20 sin2x－1/10 cos2x
所以原方程通解为y=C1e^(－4x)－1/20 sin2x－1/10 cos2x＋C2
x=0时，y=C1－1/10＋C2=1/4
y'=－4C1e^(－4x)－1/10cos2x＋1/5 sin2x
x=0时，y'=－4C1－1/10=0
C1=－1/40
C2=3/8
所以原方程特解为y=－1/40 e^(－4x)－1/20 sin2x－1/10 cos2x＋3/8