1⼀sinx(sinx+cosx)的不定积分怎么求

简单计算一下即可，答案如图所示

原式=∫(1-sinx)/[cosx(1-sinx)(1+sinx)]dx

=∫(1-sinx)/(cosx)^3

=∫(secx)^3-∫sinx/(cosx)^3dx

=secxtanx-∫tanxdsecx

=secxtanx-∫secxtan²xdx

=secxtanx-∫secx(sec²x-1)dx

则∫sec³xdx=1/2secxtanx+1/2ln|secx+tanx|+C

所以，原式=1/2secxtanx+1/2ln|secx+tanx|+1/[3(cosx)^2]+C

基本介绍

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。

但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

I. 原式=∫(1-sinx)/[cosx(1-sinx)(1+sinx)]dx
=∫(1-sinx)/(cosx)^3
=∫(secx)^3-∫sinx/(cosx)^3dx
∫sec³xdx=
∫secxdtanx=
secxtanx-∫tanxdsecx
=secxtanx-∫secxtan²xdx
=secxtanx-∫secx(sec²x-1)dx
=secxtanx-∫sec³xdx+∫secxdx
=secxtanx-∫sec³xdx+ln|secx+tanx|
则∫sec³xdx=1/2secxtanx+1/2ln|secx+tanx|+C
∫sinx/(cosx)^3dx= -∫1/(cosx)^3dxd(cosx)=1/[3(cosx)^2]+C
所以，原式=1/2secxtanx+1/2ln|secx+tanx|+1/[3(cosx)^2]+C
II. 分子分母同除以(sinx)^2
原式=∫(1/(sinx)^2)/(1+cotanx) dx
=-∫1/(1+cotanx) d(cotanx)
=-ln|1+cotanx|+C