金字塔蕴藏的数学奥秘

有一个古老文明，曾经创造了古代史中最为灿烂的文化，留下当时世界上最为宏伟壮观的宫殿和墓冢。可惜，它在两千多年前就被其他民族所征服，彻底丢失了自己的语言文字和文化，被漫漫黄沙所埋没，沉寂了十几个世纪。直到18世纪，人们重新发现了它的遗迹，惊叹之余，更多的是感叹和疑惑。

这就是古埃及文明。

两千余年的外族统治使古埃及彻底失去了自己的文明。巍峨遗迹今犹在，人影却无踪。语言、文字、宗教信仰、历史记录都消失了，也没人能读懂用古奥的埃及文字写成的碑文。人们在看到那些遗迹时，根本搞不清它们究竟为了什么而建。事实上，我们至今也不知道他们属于哪个人种，究竟是高加索人、黑人，还是中亚人。这些谜团经常引起人们无限的好奇。

古埃及的文字大约始创于公元前3500年，距离今天有五千多年了。这种象形文字是人类最古老的书写文字之一，多刻在古埃及人的墓穴、纪念碑、庙宇的墙壁或石头上，被后人称为“圣书体”。1799年，一名法国陆军工程师在尼罗河三角洲的港口城市罗塞塔发现一幢残碑，上面有三种文字镌刻的碑文，其中一种文字是古希腊文。这就是有名的“罗塞塔石碑”。通过古希腊文的帮助，法国学者商博良（Jean-François Champollion，公元1790—公元1832）在1822年破译了圣书体，于是这个迷失千年的古文明终于再次被发现。

古埃及人可能是由北非的土著居民和来自西亚的游牧民族闪米特人融合而形成的。大约在公元前6000年，由于气候变化的影响，北非茂密的草原开始萎缩，人们被迫放弃游牧，寻求固定的水源，改为从事农业耕作，在公元前4000年后半期聚集在尼罗河谷一带，在那里逐渐形成国家。从大约公元前32世纪美尼斯法老（Menes，生卒年不可考）统一上下埃及建立第一王朝，到公元前343年古埃及被古波斯彻底征服，一共历经了三千年、九个时期、三十一个王朝的统治。它的鼎盛时期在十八王朝（约公元前15世纪），那时的疆土从南部尼罗河谷地带的上埃及（也就是今天的苏丹、埃塞俄比亚），到北部三角洲地区的下埃及（包括今天的埃及和部分利比亚），东部边界则直达迦南平原（也就是今天的以色列和巴勒斯坦）。王国的统治者被称为法老。这个名称由两个象形字组成，前一个字的意思是屋或宫，后一个是柱，合起来就是王宫。由于臣民必须对统治者表示足够的尊重，不能直呼其名，所以用地点来代替。这跟中国古代称皇帝为陛下是一个道理。

文史花絮

古埃及人到底是什么人种？这个问题在历史学界从18世纪以来就一直争论不休。一些学者，尤其是非洲学者认为古埃及人是努比亚人（非洲黑人），他们的理由是在古希腊人的记载中经常提到埃及人肤色很深，特别是有过黑皮肤的皇后。1975年法国科学家研究了拉美西斯二世法老的头发，结论是他有浅色皮肤，鬈发，头发呈红色。

实际上，古埃及人的种族问题多半是个伪科学问题。埃及地处非洲，临近欧洲和小亚细亚，其人民显然是多种族的混合体。问古埃及人是什么人种有点像问今天美国人的人种，这是没有意义的。

古埃及文明在当时是非常先进的，可他们却不懂得近亲繁衍的危害。现代研究说明，图坦卡蒙法老（Tutankhamen，约公元前1341—公元前1323）生来兔唇，一只脚先天畸形，走路需要拄拐杖。通过对法老家族木乃伊DNA的调查发现，图坦卡蒙的母亲也是他的亲姑姑。这个我们最为熟悉，赫赫有名的法老实在是个可怜虫：除了上述毛病以外，他的体内含有大量疟疾原虫，而且可能死于腿部骨折伤口感染。他十岁登基，十九岁便死去，估计从来没有对国家做出过任何出于自己意愿的决策。所有的决定很可能都来自他的监护官阿伊（Ay，？—公元前1320）。阿伊在图坦卡蒙死后，自任为法老，还占有了死者的妻子。

古埃及拥有相当水准的天文学知识，他们根据观测太阳和天狼星的运行制定历法，是科普特历法的先行者。他们把一年定为三百六十五天，每年十二个月，一个月三十天，剩下的五天作为新年期间的节日。这种使用太阳历的做法是世界首创，其历法和我们今天所使用的阳历很接近。不过他们把一年分为三个季节，每季四个月。由于一年的真正时间大约是365.25天，古埃及的日历每四年就比实际少一天。他们还没有闰年的概念，但通过对天狼星的观察，已经意识到这一点。积累一千四百六十年后，日历时间比实际时间少整整一年，于是观察的天象和日历又变得一致了。古埃及人把一千四百六十年叫作天狗周期（天狗就是天狼星）。他们还发明了日晷等计时器，把一天分为二十四小时，按照日出日落来分，白天和黑夜各十二小时。由于昼夜的长短是随着季节变化的，因此一小时的长度也随着变化，而且白天和夜晚的每小时时长也经常不一样。

古埃及人已经了解许多星座，比如天鹅座、牧夫座、仙后座、猎户座、天蝎座、白羊座以及昴星团等。他们还把黄道恒星和星座分为三十六组，在历法中加入旬星，一旬为十天，这和中国农历里面旬的概念非常类似。古埃及文化有显著的星神崇拜，有专门的祭司负责天文学观测和记录。每年夏天，天狼星在黎明前升起的时候，尼罗河就开始泛滥。所以古埃及人认为天狼星是掌管圣河尼罗河的神祇。他们建造了神殿来祭祀天狼星。还有人认为建造金字塔也是为了观测天狼星。古埃及人重视农业，赋予太阳浓重的宗教色彩，代表太阳的神祇有好几种，比如拉和阿顿。很多法老都标榜自己是他们的代表，有资格统治埃及。

尼罗河泛滥，淹没农田，但同时也使被淹没的土地成为肥沃的耕地。尼罗河还为古埃及人提供交通的便利，使人们比较容易来往于河畔的各个城市之间。古埃及文明的产生和发展同尼罗河密不可分，所以古希腊历史学家希罗多德（Herodotus，公元前484—公元前425）说：“埃及是尼罗河的赠礼。”

古埃及有一套跟古巴比伦不同的数学系统。比如，他们有一套独特的乘法计算方法。假设要计算238×13。古埃及人的做法是先把较大的数（238）分解为1和一系列2的不同整数幂（）（2、4、8、16，等等）的和，然后把每一个对13做乘法。这很容易做到，因为，所以每一个的结果都是前一个结果的两倍。表三是这个方法的详细步骤。

表三的第一列数字是分解238。把所有可能的数字都列出来，使它们的和等于238，有些数字是不需要的，用横杠划掉。第二列是第一列的数乘以13后的结果，所有第一列中划掉的数字，乘以13以后的结果也划掉。最后把所有没被划掉的数字都加起来，就是计算的结果。类似的算法至今仍然在有些地方流传。

古埃及人很早就开始对土地进行测量了。他们是最先懂得用手掌和前臂来量度距离的人群之一。起初他们只是用手指来计算数目，后来渐渐创造了数字符号。仔细看看这些数字符号是很有意思的（图3）。数字1当然很平常，就像一根树枝。很多古代文明都用同样的符号。数字10的形状是人的踵骨（脚跟处的骨头），100是绳子挽成的一个圈，1000是一支莲花，10000是指尖弯曲的手指，100000是一只鸟（或者是青蛙），1000000是双手张开的象征无穷和无限的神祇赫（Heh）。显然，古埃及人采用的是10进位制，但是还没有0和从2到9的数字符号，所以数字的表达比较复杂。比如数字278需要把两个绳子圈，七根踵骨和八条树枝放在一起来表达。

图3：古埃及人的数字符号

我们对古埃及的数学的了解，主要来自古代纸草记录。其中有两种记录最为有名，一是“兰德纸草书”，大约作于公元前1700年（它还有可能是已经失传的更早时期纸草记录的复本）；二是“莫斯科纸草书”，它比“兰德纸草书”好像还要早一个世纪。从内容来看，它们似乎都是数学教科书，类似于中国古代的算经。

由于农田不断地变更，古埃及人需要经常丈量土地。希罗多德告诉我们，拉美西斯二世法老（Rameses II，约公元前1303—约公元前1213）把土地划成长方形分给埃及人，然后按照面积征收地税。如果尼罗河水侵占了土地的一部分，土地拥有者可以向法老申请减少地税。于是土地丈量员就要来重新计算土地面积，开出土地流失证明。希罗多德说：“在我看来，这是几何学的来源。这门学问后来传到了希腊。”

著名希腊哲学家亚里士多德（Aristotle，公元前384—公元前322）也认为是古埃及人最早开创了几何学。不过他认为这门科学的来源不是土地勘测之类的实际问题，而是由于古埃及神庙里的祭司有很多闲工夫，吃饱了撑的没事干，就研究几何。古埃及人对于神庙建筑的方向非常关心，这大概跟观测天狼星的需要有密切关系。他们能够用绳子和标杆准确地定出墙角基石的位置，这在很多建筑的图画中都能看到。他们好像已经懂得了勾股定理，并用它来界定建筑物的直角。

在上面提到的两套纸草书里，几何问题占有很大的比重。这些问题基本都跟测量有关，很多问题涉及几何图形的面积计算，包括圆形、三角形、矩形和不规则四边形。学者们对很多三角形和多边形的计算方法存在分歧，不过基本都认为多数计算方法只是为了得到近似值，没有完整的理论。

体积计算的问题在这些文献里也很重要。比如“兰德纸草书”的第41题：圆柱形的谷仓，直径为d，高为h，谷仓的体积V是多少？纸草书给出的答案是：

根据我们熟悉的圆柱体积公式，我们可以导出古埃及人使用的近似圆周率，它和真正的圆周率之间的误差不到1%。

还有一类重要的问题是计算金字塔的比例。金字塔的底面是正方形；正方形的边长与金字塔的高度之比决定了金字塔的形状。确定这个比例需要一定的三角学知识，他们用“赛克德”（Seked或Seqed）来表示直角三角形的余切。“兰德纸草书”中的第56到60题就跟计算“赛克德”有关。有了“赛克德”，就知道了金字塔的坡度。比如，著名的吉萨大金字塔（也被称作胡夫金字塔）是在公元前2560年建成的。它的四个斜面同水平面的角度（即坡度）是50度50分40秒。吉萨的塔尖高出地面146.5米，它在公元1300年之前的三千八百多年里一直是世界上最高的建筑。这座金字塔建造得极为精准：它的底面四边形四条边长的误差平均值只有58毫米；地基离水平基准的误差在±15毫米以内。金字塔正方形的地基和正北方向（不是地磁北极）基本平行，误差小于4分（1分是1度的六十分之一），正方形地基同塔尖的偏心误差仅为12秒（1秒是1分的六十分之一）。有人还发现，金字塔底面周长和高的比例是6.285714……这跟2π的数值差小于0.05%。有些古埃及学家认为这是在设计中刻意达到的结果。不过也有人认为古埃及人并没有圆周率的概念，不会将它用在建筑物的设计上。他们认为观测到的金字塔斜率也许只是根据塔高和底面边长之比而做出的选择而已，并没有特意考虑建筑物的总尺寸和比例。

确实，并不是所有的金字塔都具有相同的斜率。比如另一座著名的弯曲金字塔，是埃及第四王朝的法老斯尼夫鲁（Sneferu，意思是“创造美好”，在位时间为约公元前2613—公元前2589）建造的。它有一个奇特的造型，是因为在它修建了将近一半的时候，由于某种原因，金字塔内部出现大范围的结构破坏，使原先的计划不可能完成。斯尼夫鲁选择把已经完成的塔底向四边扩展大约十五米，然后继续向上收窄直到完成塔顶。弯曲金字塔底层部分的斜率是55度27分，而上层部分则变成43度22分，使整座建筑呈现出弯曲的外表。弯曲金字塔在人类建筑史和埃及金字塔研究中都有非常重要的意义；在此之前的金字塔都是阶梯式的。比弯曲金字塔更早的是美杜姆金字塔。它是埃及人第一次尝试建造平滑金字塔的成果，但很可能在弯曲金字塔建造期间就坍塌了。考古研究表明，美杜姆金字塔在建造时就已经显出不稳定的迹象，因为它内部的房间有不少由大木梁支撑着。自美杜姆金字塔以后，斯尼夫鲁改用巨石垒出拥有平滑斜面的真正金字塔。弯曲金字塔是斯尼夫鲁在位期间建造的第二座金字塔，在它之后终于出现了人类历史上第一座完美的金字塔—红色金字塔。

红色金字塔是斯尼夫鲁的陵墓，所在地距弯曲金字塔北面大约一公里。它的斜率是43度，跟弯曲金字塔的上半部分相同，因此非常稳固。这个设计是将美杜姆金字塔和弯曲金字塔改进以后的结果。红色金字塔高104米，底面边长220米。而它的建造仅仅花了十年时间（也有人认为是十七年）。胡夫金字塔是最大的金字塔，高146.5米，底面边长230.4米，估计使用的建筑材料达590万吨。建造胡夫金字塔用了二十年，也就是说，为了建造它，古埃及人平均每天要运送和安装80吨的建筑材料。这样浩大的工程在四五千年前难道不是奇迹吗？

在另一部古代纸草记录“柏林纸草书”里，还有一类问题，对于当时的人们来说，它们非常复杂。比如这个问题，用现在的代数语言描述是这样的：

这类问题，我们今天是把第二个等式，也就是，直接代入第一个方程，求得之后再开平方。古埃及人却不这样做。他们先假定x=1，这样，。比100小倍，所以真正的x是1的8倍。

古埃及人似乎对理论不感兴趣。他们满足于实际测量，便把精力放在建造宏伟的建筑上面。

大约在公元前7世纪的某一天，一位腓尼基人来到埃及，跟随祭司们学习几何数学和哲学。这位腓尼基人出生在古希腊人的殖民地爱奥尼亚地区的城邦米利都，也就是今天的土耳其城市米雷特。这个人名叫泰勒斯（Thales，约公元前624—约公元前547）。古希腊最后一位哲学家普罗克洛斯（Proclus，公元412—公元485）对他有较为详细的介绍，说泰勒斯在埃及看到了几何学的重要性，就把这门学问带到了希腊。他是人类历史上第一位提倡理性主义精神和普遍性原则的人，被称为“哲学史上第一人”。泰勒斯是一个多神论者，认为世间充满了神灵，万物都有生命。传说毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前570—公元前495）早年也拜访过泰勒斯，并听从了他的劝告，前往埃及做研究。

数海拾贝

泰勒斯通过金字塔的阴影来估算金字塔的高度。上图中，A是参考木杆，B和C分别是木杆和金字塔在阳光下的阴影的长度。知道了A、B和C，就可以算出阳光与地面的夹角和金字塔的高度D。

希罗多德告诉我们，泰勒斯曾经准确地预测了公元前585年5月28日的日全食。他还能解释尼罗河泛滥的原因，靠观测来估算船只距离河岸的距离，并通过金字塔的阴影来计算它的高度。后两种计算说明他对三角学已经有相当深刻的认识。他证明了几何上的一个定理，这个定理说，如果A、B、C是圆周上的三点，而且AC是该圆的直径，那么角ABC（用∠ABC来表示）必然是直角。换句话说，直径所对的圆周角永远是直角。虽然古埃及人和古巴比伦人好像都已经知道这个结论，但没人能够证明它。这个定理现在被称为泰勒斯定理。另一个定理有时也叫作泰勒斯定理，但是为了和前一个定理分开，现在一般称为截距定理。简述如下：

如果S是两条直线的交点，另有两条平行线，它们分别和过S点的两条线相交于点A、B和C、D（图4），那么以下定理成立：

1.

2.。反之，如果两条相交的直线被一对任意直线所截，而且如果成立，那么那对任意直线一定相互平行。

3. 如果有两条以上直线相交于点S，那么。

从这三个定理我们还知道，图4中的三角形SAC和三角形SBD相似，而且相似三角形的相应的线段之比相等。

泰勒斯的定理是所有几何定理的开端。他还试图借助观察经验和理性思维来解释世界。比如他提出一个假说，“水是万物之本原”。他是古希腊第一个提出“什么是万物本原”这个哲学问题的人。由于他的杰出贡献，泰勒斯被称为“科学之父”。

自从泰勒斯从埃及回到希腊，那里的科学，特别是数学就朝着崭新的革命性的方向突飞猛进地发展。
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