2010湖南高考文科数学试题

　　2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）
　　_____班 姓名_________
　　一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
　　1.复数 等于 ( )
　　A． B. C. -1+i D. -1-i
　　2. 下列命题中的假命题是 ( )
　　A． B. C. D.
　　3．某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是 ( )
　　A． B. C. D..
　　4．极坐标方程 和参数方程 （t为参数）所表示的图形分别是 ( )
　　A．直线、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．圆、直线
　　5．设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( )
　　A． 4 B. 6 C. 8 D. 12
　　6．若非零向量 、 满足 ， ，则 与 的夹角为 ( )
　　A．300 B. 600 C. 1200 D. 1500
　　7．在 中，角 的所对的边长分别为 ，若 ，则 ( )
　　A．a>b B. a　　8. 函数 与 在同一直角坐标系中的图象可能是 ( )

　　二 填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
　　9 .已知集合A={1,2,3},B={2, m，4}，A∩B={2,3}，则m= .
　　10.已知一种材料的最佳入量在100g到200g之间.若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 g.
　　11.在区间[-1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为
　　12 . 图1是求实数x的绝对值的算法程序框图，则判断框可填
　　13.图2中的三个直角三角形是 一个体积为20cm3的几何体的三视图，则 ．

　　14. 若不同两点P，Q的坐标分别为(a,b) ，(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线l的斜率为_________,圆 关于直线l对称的圆的方程为_________________________.
　　15. 若规定 的子集 为E的第k个子集，其中 ，则 （1） 是E的第_______个子集;
　　(2) E的第211个子集是________________.
　　三 解答题：每小题共6小题，共75分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。
　　16．（本小题满分12分）已知函数 ．
　　（Ⅰ）求函数 的最小正周期； （II）求函数 的最大值及 取最大值时x的集合。

　　高校 相关人数 抽取人数
　　A 18 x
　　B 36 2
　　C 54 y
　　17.（本小题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样的方法从三所高校A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）
　　（I）求x,y；
　　（II）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率.

　　18.（本小题满分12分） 如图3所示，在长方体ABCD- 中，AB=AD＝1, AA1=2, M是棱C 的中点.
　　（Ⅰ）求异面直线 M和 所成的角的正切值;
　　（Ⅱ）证明：平面ABM 平面A1B1M.

　　19．（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形，以过A,B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）.考察范围为到A,B两点的距离之和不超过10km的区域。
　　（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
　　（Ⅱ）如图4所示，设线段P1P2是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上?

　　20 （本小题满分13分） 给出下面的数表序列：
　　表1 表2 表3 …
　　1 1 3 1 3 5
　　4 4 8
　　12
　　其中表n(n=1,2,3, …)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n-1，从第二行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.
　　（Ⅰ）写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
　　（Ⅱ）某个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，…，记此数列为{bn}，求和：
　　.

　　21.（本小题满分13分）已知函数 , 其中 且
　　（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
　　（Ⅱ）设函数 （e是自然对数的底数），是否存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

　　2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
　　数学（文史类）参考答案
　　一、
　　题号 1 2 3 4 5 6 7 8
　　答案 A C A D B C A D

　　二、 9. 3 10. 161.8或138.2 11. 12.x>0或x>0? 或x≥0 或x≥0？
　　13. 4 14. -1 , x2+(y-1)2=1 15. 5；
　　三、16．解（Ⅰ） 因为
　　所以函数 的最小正周期
　　（II）由（Ⅰ）知，当 ，即 时， 取最大值 .
　　因此函数 取最大值时x的集合为
　　17解: （I）由题意可得 ，所以x=1,y=3
　　（II）记从高校B抽取的2人为b1,b2, 从高校C抽取的3人为c1,c2,c3,则从高校B、C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有：
　　（b1,b2）,（b1,c1）, (b1,c2）, （b1,c3）, （b2,c1）, （b2,c2）, （b2,c3）,( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共10种.
　　设选中的2人都来自高校C的事件为X,则X包含的基本事件有( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共3种.
　　因此 . 故选中的2人都来自高校C的概率为
　　18.解 Ⅰ）如图，因为 ，所以 异面
　　直线 M和 所成的角，因为 平面 ，
　　所以 ，而 =1， ，
　　故 .
　　即异面直线 M和 所成的角的正切值为

　　（Ⅱ）由 平面 ，BM 平面 ，得 BM ①
　　由（Ⅰ）知， ， ， ，所以 ，
　　从而BM B1M ② 又 , 再由① ②得BM 平面A1B1M，而BM 平面ABM，
　　因此平面ABM 平面A1B1M.

　　19. 解（Ⅰ）设边界曲线上点的坐标为P（x,y），则由|PA|+|PB|=10知，
　　点P在以A、B为焦点，长轴长为2a=10的椭圆上，此时短半轴
　　长 .所以考察区域边界曲线（如图）的方程
　　为
　　（Ⅱ）易知过点P1、P2的直线方程为4x-3y+47=0，
　　因此点A到直线P1P2的距离为
　　，
　　设经过n年，点A恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得
　　，解得 n=5. 即经过5年，点A恰好在冰川边界线上.
　　20. 解：（Ⅰ）表4为 1 3 5 7
　　4 8 12
　　12 20
　　32
　　它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别为4,8,16,32. 它们构成首项为4，公比为2的等比数列.
　　将结这一论推广到表n（n≥3），即
　　表n各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列.
　　（Ⅱ）表n第1行是1,3,5，…，2n-1，其平均数是
　　由（Ⅰ）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列（从而它的第k行中的数的平均数是 ），于是表n中最后一行的唯一一个数为 .因此

　　(k=1,2,3, …,n)，故

　　21. （Ⅰ） 的定义域为 ，
　　（1）若-11时， .故 分别在 上单调递增，在 上单调递减.
　　（2）若a<-1,仿（1）可得 分别在 上单调递增，在 上单调递减.
　　（Ⅱ）存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数.
　　事实上，设 ，则
　　，再设 ，则当g(x)在[a,-a]上单调递减时，h(x)必在[a,0]上单调递,所以 ，由于 ，因此 ，而 ，所以 ，此时，显然有g(x)在[a,-a]上为减函数，当且仅当 在[1,-a]上为减函数，h(x)在[a,1上为减函数,且 ，由（Ⅰ）知，当a<-2时， 在 上为减函数 ①
　　又 ②
　　不难知道，
　　因 ，令 ，则x=a或x=-2,而
　　于是 （1）当a<-2时，若a 　　（2）当a＝-2时， , 在 上单调递减.
　　综合（1）（2）知，当 时， 在 上的最大值为 ，所以， ③
　　又对 ，只有当a=-2时在x=-2取得，亦即 只有当a=-2时在x=-2取得.
　　因此，当 时，h(x)在[a,1上为减函数，从而由①，②，③知
　　综上所述，存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数，且a的取值范围为 .