ln(x+1)+x^2和x等价无穷小的证明过程

具体回答如下：

lim(x→0) ln(1+x)/x

=lim(x→0) ln(1+x)^(1/x)

=ln[lim(x→0) (1+x)^(1/x)]

由两个重要极限知lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e

所以原式=lne=1，所以ln(1+x)和x是等价无穷小。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0。

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

∵lim0>[(√(1+x²)-1)/x]=0

lim0>[(ln(1+x)+x²)/x]=1

∴当x->0时，ln(1+x)+x²与x等价。

极限

变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念，所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。

历史上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。他说，“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值，并且最终与它的差要多小就有多小”，这个定值就称为这个变量的极限。

其后，外尔斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))按照这个思想给出严格定量的极限定义，这就是数学分析中使用的ε-δ定义或ε-Ν定义等。从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则。在分析学的其他学科中，极限的概念也有同样的重要性，在泛函分析和点集拓扑等学科中还有一些推广。

解：∵lim0>[(√(1+x²)-1)/x]=0

lim0>[(ln(1+x)+x²)/x]=1

∴当x->0时，ln(1+x)+x²与x等价。

=[ln(x+1)+x^2]/x=1/(x+1)+2x=1