A与B等价的意思是存在可逆阵P和Q使得PAQ=B
只要把A和B各自化到等价标准型就清楚了
A=P1D1Q1
B=P2D2Q2
如果PAQ=B，那么由A=P1D1Q1得B=(P*P1)D1(Q1*Q)，得到rank(A)=rank(B)=rank(D1)
反过来，rank(A)=rank(B)可得D1=D2，取P=P2P1^{-1}，Q=Q1^{-1}Q2即得PAQ=B
因为初等矩阵乘上去不改变矩阵的秩，A,B等价就是之间差一串初等矩阵乘积
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