三角形中a=2bcosc求tanA+tanB+tanC的最小值

由正弦定理得sinA=2sinBsinC。

实际上，这题应该有个前提条件，即在锐角三角形中。虽然∠A只能为锐角或直角，但∠B或∠C可以为锐角、直角或钝角。

在直角三角形中，tanA+tanB+tanC不可能取到最小值，因为其值为无穷大。

而在钝角三角形中，tanA+tanB+tanC的值恒小于0，最小值并不存在。（为负无穷大）

在锐角三角形中，tanA+tanB+tanC的值必然大于0。

由于是在三角形中，所以A=π-(B+C)=π-B-C。

sinA = sin(π-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=2sinBsinC。

上式两边同除cosBcosC，得tanB+tanC=2tanBtanC。①

又tanA=tan(π-B-C)=-tan(B+C)=(tanB+tanC)/(tanBtanC-1)。

所以tanA+tanB+tanC=(tanB+tanC)/(tanBtanC-1)  + tanB+tanC=(tanB+tanC)[1+1/(tanBtanC-1)]=2[(tanBtanC)^2]/(tanBtanC-1)。

注：根据①式，将tanB+tanC代换为2tanBtanC。

（事实上以上式子也可以用三角形内的恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC获得）

设tanBtanC-1=x，则有tanA+tanB+tanC=2[(x+1)^2]/x = f(x)。

由于只需考虑锐角三角形的情况，所以B+C＞90°，所以tanBtanC>1，即x>0。

f(x) = 2x + 2/x + 4。当x＞0时，f(x)的最小值为8，当x=1时取到。

所以tanA+tanB+tanC的最小值为8，此时tanA=4，tanB=2+根号2，tanC=2-根号2，或tanA=4，tanB=2-根号2，tanC=2+根号2。