复变函数的积分计算

|z|=2的内部有两个奇点,z=±i,而且都是一阶极点.

原式=2πi[Res(f(z),i)+Res(f(z),-i)]

=2πi[lim(z→i)sinz/(z+i)+lim(z→-i)sinz/(z-i)]

=2πi(sini/2i+sin(-i)/(-2i))

=2πi*2sini/2i

=2πi*[e^(i*i)-e^(-i*i)]/2i²

=π/i*(1/e-e)

设f(z)=(z^10)/(z-3)。∴f(z)有一个一阶极点z1=3，但z1不在丨z丨=1内。

故，f(z)在丨z丨=1的留数Res[f(z),z1]=0。∴由柯西积分定理，有原式=(2πi)Res[f(z),z1]=0。

设f(z)=1/[(z^2)(z-1)(z+4)]，∵(z^2)(z-1)(z+4)=0，则z1=0、z2=1、z3=-4，其中z1是二阶极点、z2、z3是一阶极点。∴丨z丨=3内，f(z)有两个极点z1、z2。

故，由柯西积分定理，原式=(2πi){Res[f(z),z1]+Res[f(z),z2]}。

而，Res[f(z),z1]=lim(z→z1)[(z^2)f(z)]'=-{(2z+3)/[(z-1)(z+4)]^2}丨(z=0)=-3/16、Res[f(z),z2]=lim(z→z2)(z-z2)f(z)=1/5。∴原式=πi/40。

扩展资料：

复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。

参考资料来源：百度百科-复变函数

1、楼主的这两道题，涉及到：

A、复变函数积分，转化为留数的计算；

B、然后又转化为求导计算；

第一道题，需要求导一次；第二次不需要求导。

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2、具体解答如下，如有疑问，欢迎追问，有问必答。

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3、若点击放大，图片更加清晰。

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首先看积分曲线是不是闭曲线，不是闭曲线的话只能用最一般的方法做，就是用复数的各种表达式进行转化，如果是闭曲线，就有许多很好的方法。这是要找出函数所有不解析的点，看闭曲线内部有没有不解析的点，如果没有，根据柯西古萨基本定理，这个积分就等于0，如果有不解析的点，先看被积函数的表达式，如果是简单的f(z)dz/(z-z0)形式的可使用柯西积分公式（某些较复杂的形式往往可以通过变形变成这种形式），否则就要用留数定理计算了，这就需要进一步确定奇点的类型（可去，极点，本性），然后根据相应的法则求出各奇点的留数，再用留数定理求积分。

求复变函数的积分