85问答库 > 在数列{an}中，已知a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an．（Ⅰ）证明数列{ an+1-an}是等比数列，并求数列{an}的通

在数列{an}中，已知a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an．（Ⅰ）证明数列{ an+1-an}是等比数列，并求数列{an}的通

2024-11-15 09:20:47

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回答1：

解答：证明：（Ⅰ）由a_n+2=3a_n+1-2a_n得：a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
又∵a₁=1，a₂=3，即a₂-a₁=2，
所以，{ a_n+1-a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．…（3分）
a_n+1-a_n=2×2^n-1=2ⁿ，…（4分）
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+2²+…+2^n-1=

1?2n

1?2

=2ⁿ-1；…（7分）
（Ⅱ）b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，…（8分）
S_n=

n(n+1)

，…（9分）

＝

n(n+1)

＝2(

n+1

)，
所以

+…+

＝2[(1?

)+(

)+…+(

n+1

)]
=2(1?

n+1

)＜2．…（14分）