求根号下x^2+x+1的原函数

这个方法最好的

简单分析一下，详情如图所示

∫ √(x^2+x+1) dx
consider
x^2+x+1=(x+1/2)^2 + 3/4
let
x+ 1/2=(√3/2)tany
dx=(√3/2)(secy)^2.dy

∫ √(x^2+x+1) dx
=(3/4)∫ (secy)^3 dy
consider
∫ (secy)^3 dy =∫ secy dtany
= secy.tany -∫ (tany)^2.secy dy
= secy.tany -∫ [(secy)^2-1]secy dy
2∫ (secy)^3 dy = secy.tany +∫ secy dy
∫ (secy)^3 dy = (1/2)[secy.tany +ln|secy+tany|] + C'

∫ √(x^2+x+1) dx
=(3/4)∫ (secy)^3 dy
= (3/8)[secy.tany +ln|secy+tany|] + C''
= (3/8)[(2/√3) √(x^2+x+1).(2x+1)/√3 +ln|(2/√3)√(x^2+x+1)+(2x+1)/√3|] + C''
= (3/8)[ (2/3)(2x+1)√(x^2+x+1)+ ln|2√(x^2+x+1)+(2x+1)| ] + C

where
tany = (2x+1)/√3
secy =(2/√3) √(x^2+x+1)

作代换x=sh t
积分就变成对ch²t的积分
积分得到[2t+sh(2t)]/4+C
由x=sh t解出t=ln[1+sqrt(1+x²)] sqrt表示开根
故积分为{2ln[1+sqrt(1+x²)]+2x²+1}/4+C

y=1/3x^3+1/2x^2+x+c