数学的问题

应用题（3）
1、面对国际金融危机，某铁路旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出如下标准：
人数 不超过25人 超过25人但不超过50人 超过50人
人均旅游费 1500元 每增加1人，人均旅游费降低20元 1000元
某单位组织员工去该风景区旅游，设有x人参加，应付旅游费y元．
(1)请写出y与x的函数关系式；
(2)若该单位现有45人，本次旅游至少去26人，则该单位最多应付旅游费多少元？

24．解：（1）由题意可知：
当 时， ． 1分
当 时， 2分
即 3分
当 时， ． 4分
（2）由题意，得 ，
所以选择函数关系式为： ． 5分
配方，得 ． 7分
因为 ，所以抛物线开口向下．又因为对称轴是直线 ．
所以当 时，此函数 随 的增大而增大． 8分
所以当 时， 有最大值，
（元）
因此，该单位最多应付旅游费49500元．

3、（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
（1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；
（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为 ， 1≤ x ≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？
【关键词】二次函数极值
【答案】【答案】（1）
（2）设利润为

当 时，
当 时，
综上知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件 元.
（2009年滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价 元、每星期售出商品的利润为 元，请写出 与 的函数关系式，并求出自变量 的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
（3）请画出上述函数的大致图象．
【关键词】二次函数的实际应用.
【答案】（1）y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=- ,0≤x≤20；
（2）y=-20 ,∴当x==2.5元,每星期的利润最大，最大利润是6135元；（3）图像略.

（2009年滨州） 如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形 中， ， ．对于抛物线部分，其顶点为 的中点 ，且过 两点，开口终端的连线 平行且等于 ．
（1）如图①所示，在以点 为原点，直线 为 轴的坐标系内，点 的坐标为 ，
试求 两点的坐标；
（2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）；
（3）现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为3cm的保护膜，如图②，请在图中补充完整镀膜部分的示意图，并求出镀膜的外围周长．

【关键词】二次函数与等腰梯形.
【答案】（1）A（-10，5），B（10，5）；(2)

12、(2009年黄冈市)新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线 的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12

（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；
（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；
（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？
【关键词】待定系数法 函数的极值问题
【答案】（1）当 时，线段OA的函数关系式为 ;
当 时，
由于曲线AB所在抛物线的顶点为A（4，－40），设其解析式为
在 中，令x=10，得 ；∴B（10，320）
∵B（10，320）在该抛物线上
∴
解得
∴当 时， =
综上可知，
(2) 当 时,
当 时,
当 时,
(3) 10月份该公司所获得的利润最多,最多利润是110万元.

13、(2009武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨 元（ 为正整数），每个月的销售利润为 元．
（1）求 与 的函数关系式并直接写出自变量 的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
【关键词】二次函数的应用 二次函数的极值问题
【答案】解：（1） （ 且 为整数）；
（2） ．
， 当 时， 有最大值2402.5．
，且 为整数，
当 时， ， （元），当 时， ， （元）
当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．
（3）当 时， ，解得： ．
当 时， ，当 时， ．
当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．
当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．
当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．

21、（2009年贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。
（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。
（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由。
【关键词】二次函数的应用
【答案】解：（1） ，
（2） ，即：y
因为提价前包房费总收入为100×100=10000。
当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000。又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元。

25、（2009年吉林省）某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中 ．准备在形如Rt 的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt 的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形 内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：
品种 红色花草 黄色花草 紫色花草
价格（元/米2） 60 80 120
设 的长为 米，正方形 的面积为 平方米，买花草所需的费用为 元，解答下列问题：
（1） 与 之间的函数关系式为 ；
（2）求 与 之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；
（3）当买花草所需的费用最低时，求 的长．

【关键词】二次函数的极值问题、与二次函数有关的面积问题
【答案】解：（1）
（2）
=60
=80
配方，得

当 时， 元．
（3）设 米，则 .
在Rt 中，

解得

的长为 米．

38、(2009年鄂州)24、如图所示．某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造．已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米。学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分(如图)。其中矩形EFGH的一边EF在边BC上．其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上。现计划在△AHG上种草，每平方米投资6元；在△BHE、△FCG上都种花，每平方米投资10元；在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元。
(1)当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？
(2)当矩形EFGH的边FG为多少米时，△ABC空地改造总投资最小？最小值为多少？

【关键词】二次函数的应用
【答案】（1）设FG=x米，则AK=(80－x)米，△AHG∽△ABCBC=120，AD=80可得：
∴
BE+FC=120－ =
∴ 解得x=40
∴当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等。
（2）设改造后的总投资为W元
W=
=6(x－20)2+26400
∴当x=20时,W最小=36400
答:当矩形EFGH的边FG长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元。
43、（2009年烟台市） 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
【关键词】二次函数的实际应用
【答案】
解：（1）根据题意，得 ，
即 ．
（2）由题意，得 ．
整理，得 ．
解这个方程，得 ．
要使百姓得到实惠，取 ．所以，每台冰箱应降价200元．
（3）对于 ，
当 时，
．
所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．

（2009年日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；
（2）设MN与AB之间的距离为 米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．

【关键词】二次函数的极值问题, 二次函数的应用, 相似三角形判定和性质
【答案】
解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米.
所以，S△EMN= =0.5（平方米）.
即△EMN的面积为0.5平方米.
（2）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，
即0＜x≤1时，
△EMN的面积S= = ；
②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，
即1＜x＜ 时，
如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，
∵ E为AB中点，
∴ F为CD中点，GF⊥CD,且FG＝ .
又∵ MN‖CD，
∴ △MNG∽△DCG．
∴ ，即 ．
故△EMN的面积S＝
＝ ；
综合可得：

（3）①当MN在矩形区域滑动时， ，所以有 ；
②当MN在三角形区域滑动时，S= .
因而，当 （米）时,S得到最大值，
最大值S= = = （平方米）.
∵ ，
∴ S有最大值，最大值为 平方米.

（2009年重庆）某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系 ，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：
月份 1月 5月
销售量 3.9万台 4.3万台
（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？
（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了 ，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求 的值（保留一位小数）．
（参考数据： ， ， ， ）
【关键词】确定一次函数解析式, 二次函数的极值问题, 一元二次方程的应用
【答案】(1)设去年的月销售量p（万台）与月份x之间的一次函数关系是 ,根据题意,得 解得
∴ .
设该品牌电视机在农村的销售金额为w万元,则
= =

∴该品牌电视机在去年7月销往农村的销售金额最大,最大是10125万元.
(2)当 时, , .
根据题意,列方程,得

整理,得 .
解得 (舍去)或 .所以 的值是52.8.

66、2009年包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量 （件）与销售单价 （元）符合一次函数 ，且 时， ； 时， ．
（1）求一次函数 的表达式；
（2）若该商场获得利润为 元，试写出利润 与销售单价 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价 的范围．
【关键词】一次函数、二次函数、最大值
解：（1）根据题意得 解得 ．
所求一次函数的表达式为 ． （2分）
（2）

， （4分）
抛物线的开口向下， 当 时， 随 的增大而增大，
而 ，
当 时， ．
当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． （6分）
（3）由 ，得 ，
整理得， ，解得， ． （7分）
由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而 ，所以，销售单价 的范围是 ． （10分）

（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
（1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；
（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为 ， 1≤ x ≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？
【关键词】二次函数极值
【答案】【答案】（1）
（2）设利润为

当 时，
当 时，
综上知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件 元.

102、（2009安徽年）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
【解】

（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的
函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什
么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．
【解】
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函
数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，
且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，
使得当日获得的利润最大．
【解】
【关键词】二次函数综合
【答案】（1）解：图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，
可按5元/kg批发；……3分
图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发
（2）解：由题意得： ，函数图象如图所示．
由图可知资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可
批发到较多数量的该种水果．
（3）解法一：
设当日零售价为x元，由图可得日最高销量
当m＞60时，x＜6.5
由题意，销售利润为

当x＝6时， ，此时m＝80
即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，
当日可获得最大利润160元．
解法二：
设日最高销售量为xkg（x＞60）
则由图②日零售价p满足： ，于是
销售利润
当x＝80时， ，此时p＝6
即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，
当日可获得最大利润160元．

（2009年茂名市）茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题：

出厂价 成本价 排污处理费
甲种塑料 2100（元/吨） 800（元/吨） 200（元/吨）
乙种塑料 2400（元/吨） 1100（元/吨） 100（元/吨）
每月还需支付设备管理、
维护费20000元
（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各 吨，利润分别为 元和 元，分别求 和 与 的函数关系式（注：利润=总收入-总支出）；（6分）
（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨，求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？（4分）

2009年山东青岛市）某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价 （元）与销售月份 （月）满足关系式 ，而其每千克成本 （元）与销售月份 （月）满足的函数关系如图所示．
（1）试确定 的值；
（2）求出这种水产品每千克的利润 （元）与销售月份 （月）之间的函数关系式；
（3）“五•一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？
【关键词】二次函数和抛物线有关概念、二次函数的极值问题
【答案】解：（1）由题意：

解得
（2）

；
（3）

∵ ，
∴抛物线开口向下．
在对称轴 左侧 随 的增大而增大．
由题意 ，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大．
最大利润 （元）．