解答:(1)当a=2,x∈[0,3]时,f(x)=x|x-2|=
x2,x≥2 ?x2+4x,0≤x<2
作函数图象,
可知函数f(x)在区间[0,3]上是增函数.
所以f(x)在区间[0,3]上的最大值为f(3)=9.
(2)f(x)=
x2+(2?a)x,x≥a ?x2+(2+a)x,x<a
①当x≥a时,f(x)=(x-
)2-a?2 2
.(a?2)2
4
因为a>2,所以
<a.a?2 2
所以f(x)在[a,+∞)上单调递增.
②当x<a时,f(x)=-(x-
)2-a?2 2
.(a?2)2
4
因为a>2,所以
<a.a+2 2
所以f(x)在(-∞,
]上单调递增,在[a+2 2
,a]上单调递减.a+2 2
综上所述,函数f(x)的递增区间是(-∞,
]和[a,+∞),递减区间是[a+2 2
,a].a+2 2
(3)当3≤a≤6时,由(1)知f(x)在(-∞,
],[a,+∞)上分别是增函数,a+2 2
在[
,a]上是减函数,a+2 2
当且仅当2a<t+2a<
时,方程f(x)=t+2a有三个不相等的实数解.(a+2)2
4
即 0<t<
(a+2)2
4
令,g(a)=
在a∈[3,6]时是增函数,(a?2)2
4
故g(a)max=4.
∴实数t的取值范围是(0,4).