不定积分 ∫(x+1)⼀[x^2√(x^2-1)] dx

∫1/[x√(x^2-1)]dx

=∫(1/x^2)/[√(x^2-1)/x]dx

=∫(1/x^2)dx/√[1-(1/x)^2]

= -∫d(1/x)/√[1-(1/x)^2]

= -arcsin(1/x)+C

其中C为任意常数

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则皮袜迟原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度燃李最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞

参考好枝资料来源：百度百科——不定积分

解：洞州令x=tant，则x^2+1=(tant)^2+1=(sect)^2。那么

∫dx/x^2√(x^2+1)

=∫1/((tant)^2*sect)dtant

=∫(sect)^2/((tant)^2*sect)dt

=∫sect/(tant)^2dt

=∫cost/(sint)^2dt

=∫1/(sint)^2dsint

=-1/sint+C

又tant=x，则sint=x/√(x^2+1)

因此∫dx/x^2√(x^2+1)

==-1/sint+C=-√(x^2+1)/x+C

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数晌局 F ，即F ′ = f。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

扩展资料

证明：如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，宴颤让那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

解：令x=tant，则x^2+1=(tant)^2+1=(sect)^2。那么

∫dx/x^2√(x^2+1)

=∫1/((tant)^2*sect)dtant

=∫(sect)^2/((tant)^2*sect)dt

=∫sect/(tant)^2dt

=∫cost/(sint)^2dt

=∫1/(sint)^2dsint

=-1/sint+C

又tant=x，则sint=x/√(x^2+1)

因此∫dx/x^2√(x^2+1)

=-1/sint+C=-√(x^2+1)/x+C

扩展资料

不定积分的公式

1、备饥∫ a dx = ax + C，a和C都侍野是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫仿谈返 tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C 

= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C 

= - ln|secx - tanx| + C 

= ln|secx + tanx| + C

令x=tanu，则dx=sec²udu，√(x^2+1)=secu
∫dx/x^2√(x^2+1)
=∫ sec²u/[(tan²歼蚂u)secu] du
=∫氏裤埋 cosu/sin²u du
=∫ 1/sin²u d(sinu)
=-1/sinu+C
由tanu=x得纯并：sinu=x/√(x²+1)
=-√(x²+1)/x+C

令x=sect ds=sect*tantdt
√x2-1=√sect2-1=tanx（三角代换）顷猜明
∫雀告sect+1/sect2*tant *sect*tantdt
=∫（1/sect +1）dt
=∫（cost+1）dt
=t+sint+c
然后把t带入
tant=√x2-1 则sint=cost*√x2-1
因为兆悉x=sect=1/cost 所以cost=1/x
又因为cost=1/x 所以 t=arccos1/x
原式=t+sint+c
=arccos1/x + √x2-1/x +c