lim（x→0）xsin1⼀x的极限为什么是0而不是1

当x→0+的时候，x的极限是0，是个无穷小。而sin（1/x）是有界函数。

根据有界函数和无穷小相乘，结果还是无穷小的定理。

所以当x→0+的时候，xsin（1/x）还是无穷小，极限是0而不是1。

若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。

完善

极限思想的完善，与微积分的严格化的密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试“彻底满意”地解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们习惯于用不变化的常量去思维，分析问题。

对“变量”特有的概念理解还不十分清楚；对“变量数学”和“常量数学”的区别和联系还缺乏了解；对“有限”和“无限”的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯的处理常量数学的传统思想方法，思想僵化，就不能适应‘变量数学’的新发展。

古代的人们习惯用旧概念常量就说明不了这种 [“零”与“无限靠近零的非零数值”之间可以人为的微小距离跳跃到相等的相互转化]的科学性结论的辩证关系。

当x→0+的时候，x的极限是0，是个无穷小。而sin（1/x）是有界函数。

根据有界函数和无穷小相乘，结果还是无穷小的定理。

所以当x→0+的时候，xsin（1/x）还是无穷小，极限是0而不是1。

若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。

扩展资料：

数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

如果只知道区间（a-ε，a+ε）之内有{xn}的无数项，不能保证（a-ε，a+ε）之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

x→0时 lim x =0,是一个无穷小量
而sin1/x是有界函数
无穷小乘有界函数还是无穷小
所以原式=0

如果用u换1/x,x→0时 ，u→∞
原式 = lim (u→∞) sinu/u 要趋于0的时候才是1，其它的趋向不一定是。

因为sin1/x在x趋于0时没有极限啊，sinx/x极限公式的应用时要求sinx趋于0的。。。
sin1/x在x趋于0时是个有界函数，有界乘以x=0 原式当然就是0了