∫(上限1,下限0)ln(x+1)dx,用分部积分法计算该定积分

∫(上限1,下限0)ln(x+1)dx=2ln2-1。

解答过程如下：

∫ln(x+1)dx

=xln(x+1)-∫xd[ln(x+1)]

=xln(x+1)-∫[x/(x+1)]dx

=xln(x+1)-∫[1-1/(x+1)]dx

=xln(x+1)-∫dx+∫[1/(x+1)]d(x+1)

=xln(x+1)-x+ln(x+1)+C（C为积分常数）

代入上下限

=ln2-1+ln2

=2ln2-1

扩展资料：

根据牛顿-莱布尼茨公式，很多函数的定积分的计算方法可以简单的通过求不定积分来处理。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

∫(上限1,下限0)ln(x+1)dx=2ln2-1。

解答过程如下：

∫ln(x+1)dx

=xln(x+1)-∫xd[ln(x+1)]

=xln(x+1)-∫[x/(x+1)]dx

=xln(x+1)-∫[1-1/(x+1)]dx

=xln(x+1)-∫dx+∫[1/(x+1)]d(x+1)

=xln(x+1)-x+ln(x+1)+C（C为积分常数）

代入上下限

=ln2-1+ln2

=2ln2-1

扩展资料：

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'，得：u'v=(uv)'-uv'。

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx。

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式。

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv。

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

分部积分法：
∫ln(x+1)dx
=xln(x+1)-∫xd[ln(x+1)]
=xln(x+1)-∫[x/(x+1)]dx
=xln(x+1)-∫[1-1/(x+1)]dx
=xln(x+1)-∫dx+∫[1/(x+1)]d(x+1)
=xln(x+1)-x+ln(x+1)+C
代入上下限
=ln2-1+ln2
=2ln2-1

见图片。

∫ln(x+√(1+x^2))dx=xln(x+√(1+x^2))-∫xdln(x+√(1+x^2)
=xln(x+√(1+x^2)-√(1+x^2)+C
∫[0,1]ln(x+√(1+x^2)dx=ln(1+√2)-√2+1