85问答库 > 求定积分(x+(acrsinx)^3)⼀(1-x^2)^1⼀2的上限1⼀2下限-1⼀2

求定积分(x+(acrsinx)^3)⼀(1-x^2)^1⼀2的上限1⼀2下限-1⼀2

2024-11-19 03:30:02

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回答1：

凡是遇到在区间[-a，a]的定积分，可以先判断函数的奇偶性，依照奇偶性质会比较好做的
设f(x) = x + (arcsinx)³ / √(1 - x²)
f(-x) = (-x) + [arcsin(-x)]³ / √[1 - (-x)²]
= -x + (-arcsinx)³ / √(1 - x²)
= -x - (arcsinx)³ / √(1 - x²)
= -[x + (arcsinx)³ / √(1 - x²)]
= -f(x)
∵f(-x) = f(-x)
∴f(x)为奇函数
根据定积分的定义，奇函数在[-a，a]的面积为0
∴∫(-1 / 2 到 1 / 2) [x + (arcsinx)³] / √(1 - x²) dx
= 0

回答2：

因为被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，积分为零。