本人高一马上统考，求一些三角函数计算题跟数列的大题，附详解答案

2025-03-02 07:58:23

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回答1：

三角函数计算题
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数列的大题
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回答2：

例1．在ΔABC中，已知 B=45°，求A，C和c。
解：∵ B=45°<90° 且
∴ 有两解
由正弦定理
∴ A=60° 或A=120°
（1）当A=60°时，C=180°－45°－60°=75°
c =
（2）当A=120°时，C=180°－45°－120°=15°
c =
∴ A=60°， C=75° c = 或A=120°，C=15°，c =
注：在ΔABC中，已知两边和其中一边的对角求解三角形有三种情况，应结合图形判定是否有解，若有解，有一解还是有两解。
例2．在ΔABC中，tanB=1， tanC=2， b=100，求a。
解：∵ A+B+C=π
∴tanA=－tan（B+C）= －
∴
又 sinA>0， ∴sinA=
又tanB=1，且0∴ a=

例3. 在ΔABC中，已知（a2+b2）sin（A－B）=（a2－b2）sin（A+B），试确定ΔABC的形状。
解：由已知得：
a2[sin（A+B）－sin（A－B）]=b2[sin（A－B）+sin（A+B）]
即 a2•2cosAsinB==b2•2sinAcosB
∴ a2•cosAsinB==b2•sinAcosB （1）
由正弦定理 =2R，得a=2RsinA， b=2RsinB，代入（1）式得：
4R2sin2AcosAsinB=4R2sin2BsinAcosB
∵ 0∴ sinAcosA=sinBcosB
即，sin2A=sin2B
∵ 2A，2B∈（0，π）
∴ 2A=2B或2A+2B=π
即，A=B，或A+B=
∴ΔABC是等腰三角形或直角三角形。
注：含有边、角的等式进行变形时，须先统一化为角（或边）。对于“sin2A=sin2B”的进一步分析，须依据角的范围，避免结论出现“漏”或“重”的现象。
例4．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。证明：
证明：根据正弦定理知，要证明的等式等价于：
即，sin2A－sin2B=sinC•sin（A－B）
即要证sin2A－sin2B=sin（A+B）•sin（A－B）
即证sin2A－sin2B= sin2A cos2B－cos2A•sin2B
即证sin2A（1－ cos2B）= sin2B（1－ cos2A）
亦即证sin2A sin2B= sin2B sin2A
上式显然成立，故成立。
注：以上采用分析法，易于开拓思路，而正弦定理的应用则是关键所在。
二．余弦定理：
1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即 a2=b2+c2－2bccosA
b2=a2+c2－2ac cosB
c2=a2+b2－2ab cosC
由此得：

2．余弦定理的应用，应用余弦定理，可以解决以下两类三角形问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
例5．在四边形ABCD中，BC=a， DC=2a，四个角A，B，C，D度数之比为3：7：4：10，求AB的长。
解：设四个角A，B，C，D的度数依次为3x，7x，4x，10x，由四边形的内角和定理有：
3x+7x+4x+10x=360° 解得：x=15°
∴ A=45° B=105° C=60° D=150°
连结BD，在ΔBCD中，由余弦定理得：
BD2=a2+（2a） 2－2•a•2a•cos60°=3a2 ∴
这时，DC2=BD2+BC2 则ΔBCD是以DC为斜边的直角三角形。
∴∠CDB=30°，∠ADB=120°
在ΔABD中，由正弦定理有：

注：在多边形中应恰当合理地分解为几个三角形，以便利用已知条件和正弦定理、余弦定理等来求解。
例6．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°
求BC的长。
解：在ΔABD中，设BD=X，由余弦定理，得：
BA2=BD+AD2－2BD•ADcos∠BDA
即142=X2+102－2•10X•cos60°
整理得X2－10X－96=0
∴ X1=16，X2=－6（舍去）
即BD=16，在ΔABC中，由正弦定理得：

例7.在ΔABC中，如果试判定ΔABC的形状。
解法一：由余弦定理：
∴1－cosA=
同理1－cosB=
结合已知条件，得
（a+b－c）（a－b+c）=（a+b－c）（b－a+c）
∵a+b>c
∴a－b+c=b－a+c
∴a=b，即三角形为等腰三角形
解法二：由正弦定理
得
又
∴
∴tan ∵
∴ ∴A=B
即 ABC为等腰三角形
例8．已知中，2 （sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为。
（1）求角C；（2）求 ABC面积的最大值。
解：（1）由题设知2R=2 ，所以
（2 ）2（sin2A－sin2C）=（a－b）•2 sinB
即（2RsinA）2－（2RsinC）2=（a－b）•2RsinB
由正弦定理可得
a2－c2=（a－b）b
∴c2=a2+b2－ab
再由余弦定理得ab=2abcosC
∴cosC= ，C=
（2） S=
= =
当A=B时，S有最大值：

1．在△ABC，2b=a+c，且A－C= 求sinA，sinB，sinC的值。
2．已知三角形的三边分别是x2+x2+1，x2－1和2x+1（X>1），求三角形的最大角。
3．在△ABC中，已知a－b=4，a+c=2b，且最大角为，求三边长。
4．如图， XAY= ，在其内部有一点P，P到AX的距离PC=2，P到AY的距离PB=11，求P到A点的距离。
5．在△ABC中，已知A>B>C，且A=2C，A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2b=a+c，b=4，求a，c的长。

回答3：

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